Question

Пусть имеем три урны с шарами. В первой урне 7 белых и 3 черных шара. Во второй урне 7 белых и 7 черных шаров. В третьей урне 3 белых и 7 черных шаров. Наугад выбрали одну урну. Из этой урны наугад вынули шар, он оказался черным. Какова вероятность, что его вынули из третьей урны?

Answer 1

Формула Байеса

Р(3|Ч) = Р (Ч|3) * Р (3) / Р (Ч) =

7 /10 * 1/3 / (3/10 * 1/3 + 7/14 * 1/3 + 7/10 * 1/3 ) =

7 / 15

Answer 2

Давайте введем обозначения:

• A1: Выбрана первая урна.
• A2: Выбрана вторая урна.
• A3: Выбрана третья урна.
• B: Вытащен черный шар.

Мы хотим найти вероятность, что шар был вытащен из третьей урны при условии, что он черный. Это можно выразить следующим образом:

P(A3 | B) = (P(B | A3) * P(A3)) / P(B),

где P(B | A3) - вероятность вытащить черный шар из третьей урны, P(A3) - вероятность выбора третьей урны, P(B) - вероятность вытащить черный шар из любой урны.

Известно:

• P(B | A1) = 3/10 (так как в первой урне 3 черных шара из 10).
• P(B | A2) = 7/14 = 1/2 (так как во второй урне 7 черных шаров из 14).
• P(B | A3) = 7/10 (так как в третьей урне 7 черных шаров из 10).
• P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3 (так как урны были выбраны наугад).

Теперь найдем P(B), применяя полную вероятность:

P(B) = P(B | A1) * P(A1) + P(B | A2) * P(A2) + P(B | A3) * P(A3) = (3/10) * (1/3) + (1/2) * (1/3) + (7/10) * (1/3) = 23/60.

Теперь можем вычислить P(A3 | B):

P(A3 | B) = (P(B | A3) * P(A3)) / P(B) = (7/10) * (1/3) / (23/60) = 14/23.

Итак, вероятность того, что черный шар был вытащен из третьей урны, составляет 14/23.