Question

Найти общие решения дифференциального уравнения y''+y'-6y=6*(x^2)+4x

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для нахождения общих решений дифференциального уравнения неоднородного второго порядка с постоянными коэффициентами, необходимо сначала найти общее решение соответствующего однородного уравнения, а затем использовать метод вариации постоянных для нахождения частного решения неоднородности.

Дифференциальное уравнение имеет вид: y'' + y' - 6y = 6x^2 + 4x

1. Найдем общее решение однородного уравнения: y'' + y' - 6y = 0

Характеристическое уравнение этого однородного уравнения: r^2 + r - 6 = 0

Решим квадратное уравнение для нахождения характеристических корней r: (r + 3)(r - 2) = 0

Отсюда получаем два корня: r1 = -3 и r2 = 2.

Теперь общее решение однородного уравнения будет иметь вид: y_h(x) = C1 * e^(-3x) + C2 * e^(2x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2. Найдем частное решение неоднородности методом вариации постоянных. Для частного решения ищем частные решения в виде многочлена степени k, где k - степень многочлена, которая не меньше степени правой части уравнения (в данном случае степень правой части равна 2).

Предполагаем, что частное решение имеет вид: y_p(x) = Ax^2 + Bx + C

Теперь найдем производные: y_p'(x) = 2Ax + B y_p''(x) = 2A

Подставляем производные и частное решение в исходное уравнение: 2A + 2Ax + B - 6(Ax^2 + Bx + C) = 6x^2 + 4x

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями x: (2A - 6C) + (2A - 6B)x - 6Ax^2 = 6x^2 + 4x

Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x: -6A = 6 => A = -1 2A - 6B = 4 => -2 - 6B = 4 => B = -2 2A - 6C = 0 => -2 - 6C = 0 => C = -1/3

Таким образом, частное решение: y_p(x) = -x^2 - 2x - 1/3

3. Итак, общее решение неоднородного уравнения: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C1 * e^(-3x) + C2 * e^(2x) - x^2 - 2x - 1/3, где C1 и C2 - произвольные постоянные.