Question

Через точку (5;25) графика функции y=x2 проходят две перпендикулярные прямые: ℓ1 и ℓ2. Прямая ℓ1 пересекает ось Ox в точке (a;0) и вторично пересекает график функции в точке (b;b2). Прямая ℓ2 пересекает ось Ox в точке (c;0) и вторично пересекает график функции в точке (d;d2). Чему равняется acbd?

Answer 1

Пусть уравнения прямых имеют вид:

l₁:y=k₁x+m₁  

l₂:y=k₂x+m₂

Прямые проходят через точку (5;25)

Подставим координаты точки в уравнения:

25=5k₁+m₁  ⇒m₁ =25-5k₁

25=5k₂+m₂ ⇒m₂=25-5k₂

Произведение угловых коэффициентов  взаимно перпендикулярных прямых равно (-1):

k₁k₂=-1

$k_{2}=-\frac{1}{k_{1} }$

Пусть k₁=k, тогда $k_{2}=-\frac{1}{k }$

По условию: прямая l₁ пересекает ось Ox в точке (a;0)

Подставляем координаты точки в уравнение l₁:y=kx+ 25-5k

0=ka+25-5k

и пересекает график функции  y=x² в точке (b;b²).

Подставляем координаты точки в уравнение l₁:y=kx+ 25-5k

b²=kb+25-5k

Прямая  l₂ пересекает ось Ox в точке (c;0)

Подставляем координаты точки в уравнение l₂:$y=-\frac{x}{k}+25+\frac{5}{k}$

$0=-\frac{c}{k}} +25+\frac{5}{k}$

и пересекает график функции  y=x² в точке (d;d²)

$d^2=-\frac{d}{k_{1}}+25+\frac{5}{k}$

Получаем систему:

{0=ka+25-5k

{b²=kb+25-5k

{$0=-\frac{c}{k} +25+\frac{5}{k}$

{${d^2=-\frac{d}{k}+25+\frac{5}{k}$

Перепишем:

{ka=5k-25

{kb=b²-25+5k

{$\frac{c}{k}} =25+\frac{5}{k}$

{${\frac{d}{k}}=25+\frac{5}{k}-d^2$

перемножаем:

abcd=

Answer 2

Для начала, найдем уравнение функции y = x^2. Известно, что график функции проходит через точку (5, 25). Подставим эти значения в уравнение и решим для коэффициентов:

25 = 5^2 25 = 25

Таким образом, уравнение функции y = x^2 уже выполнено.

Теперь найдем уравнения прямых ℓ1 и ℓ2, которые проходят через точку (5, 25) и являются перпендикулярными.

Уравнение прямой в общем виде имеет вид y = mx + b, где m - это угловой коэффициент (наклон прямой), а b - точка пересечения с осью y (y-перехват). Для перпендикулярных прямых угловые коэффициенты обратны по знаку и обратно по величине.

Угловой коэффициент прямой ℓ1 будет -1/5 (обратное значение 5) и проходит через точку (5, 25), поэтому уравнение ℓ1:

y = -(1/5)x + b

Подставим координаты точки (5, 25) в уравнение:

25 = -(1/5)*5 + b 25 = -1 + b b = 26

Таким образом, уравнение прямой ℓ1: y = -(1/5)x + 26

Угловой коэффициент прямой ℓ2 будет 5 (обратное значение -1/5) и проходит через точку (5, 25), поэтому уравнение ℓ2:

y = 5x + c

Подставим координаты точки (5, 25) в уравнение:

25 = 5*5 + c 25 = 25 + c c = 0

Таким образом, уравнение прямой ℓ2: y = 5x

Теперь найдем точки пересечения прямых ℓ1 и ℓ2 с графиком функции y = x^2.

Для прямой ℓ1:

y = x^2 -(1/5)x + 26 = x^2

Перенесем все в левую часть уравнения:

x^2 + (1/5)x - 26 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью квадратного корня или других методов:

x = 5 или x = -5.2 (приблизительно)

Точка пересечения с графиком функции будет (5, 25) (которую мы уже знаем) и (приблизительно) (-5.2, 27.04).

Для прямой ℓ2:

y = x^2 5x = x^2

Перенесем все в левую часть уравнения:

x^2 - 5x = 0

x(x - 5) = 0

Решим это уравнение:

x = 0 или x = 5

Точка пересечения с графиком функции будет (0, 0) и (5, 25) (которую мы уже знаем).

Теперь составим число acbd из координат точек пересечения:

acbd = (0 * 5 * 5 * 25) = 0

Таким образом, acbd равняется 0.