Question

985. Каждый участник шахматного турнира, играя белыми фигурами, вы- играл столько партий, сколько все остальные вместе, играя чёрными.Докажите, что все участники одержали одинаковое количество побед.​

Answer 1

Допустим, что не все участники одержали одинаковое количество побед. Тогда найдётся хотя бы одна пара участников, одержавших разное количество побед. Выделим эту пару участников. Пусть i-тый участник одержал k побед, играя белыми и l побед, играя чёрными. Тогда общее количество его побед будет k + l. Пусть j-тый участник одержал m побед, играя белыми и n побед, играя чёрными. Соответственно общее количество его побед будет равно m + n. По нашему предположению k + l ≠ m + n. Обозначим сумму побед всех участников, игравших чёрными за исключением выбранной нами пары через p. Тогда по условию k = p + n и m = p + l. Отсюда p + n + l ≠ p + l + n. Но, это не так и равенство соблюдается. Следовательно, приходим к противоречию и все участники одержали равное количество побед.

Answer 2

Давайте предположим, что существует участник турнира, который одержал больше побед, чем остальные. Пусть этот участник одержал N побед, а остальные участники вместе одержали M побед (где M меньше N).

Так как каждый участник играл столько партий, сколько все остальные вместе, то каждый из остальных участников одержал M/N побед.

Теперь рассмотрим количество партий, в которых задействован данный участник, который одержал N побед. Он должен был сыграть N партий белыми и N партий черными, и в каждой из этих партий он одержал победу.

При этом, каждый из остальных участников должен был сыграть N партий черными против данного участника, и в каждой из этих партий он проиграл. Таким образом, они должны были одержать в сумме M побед, но мы уже предположили, что M меньше N.

Это противоречие доказывает, что наше предположение неверно, и не может существовать участника турнира, который одержал больше побед, чем остальные. Значит, все участники одержали одинаковое количество побед.