Question

Найдите все значения a и b, при которых уравнения x(x^2-x-11)=a и x(x+2)=b имеют два общих корня. В ответе укажите наибольшее возможное значение a+b

Answer 1

Ответ:

а=х^3-х^2-11х b=x^2+2x

а=х-11х

а=-10х

Answer 2

Для того чтобы уравнения имели два общих корня, они должны иметь одинаковые корни. Поэтому мы можем приравнять выражения в обоих уравнениях и решить полученное уравнение относительно "x" для нахождения общих корней.

Уравнение 1: x(x^2 - x - 11) = a Уравнение 2: x(x + 2) = b

Приравняем выражения: x(x^2 - x - 11) = x(x + 2) x^2 - x - 11 = x + 2 x^2 - 2x - 13 = 0

Теперь решим квадратное уравнение x^2 - 2x - 13 = 0 с помощью дискриминанта:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-13) = 4 + 52 = 56

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:

x = (-b + √D) / 2a x1 = (2 + √56) / 2 x1 = (2 + 2√14) / 2 x1 = 1 + √14

x2 = (-b - √D) / 2a x2 = (2 - √56) / 2 x2 = (2 - 2√14) / 2 x2 = 1 - √14

Таким образом, общие корни уравнений - это 1 + √14 и 1 - √14.

Теперь найдем значение a и b для данных корней:

a = (1 + √14)(1^2 - 1 - 11) = (1 + √14)(-11) a = -11 - 11√14

b = (1 + √14)(1 + 2) = (1 + √14)(3) b = 3 + 3√14

Теперь мы можем найти сумму a + b:

a + b = (-11 - 11√14) + (3 + 3√14) a + b = -8 - 8√14

Таким образом, наибольшее возможное значение a + b равно -8 - 8√14.