Question

Решите, пожалуйста, уравнение cos^2(2x)+cos^2(3x)=cos^2(5x)+cos^2(4x)

Answer 1

$\cos^{2}2x + \cos^{2}3x = \cos^{2}5x + \cos^{2}4x$

$\dfrac{1 + \cos 4x}{2} + \dfrac{1 + \cos 6x}{2} = \dfrac{1 + \cos 10x}{2} + \dfrac{1 + \cos 8x}{2} \ \ \ | \cdot 2$

$\cos 4x + \cos 6x = \cos 10x + \cos 8x$

$2\cos \dfrac{4x - 6x}{2} \cos \dfrac{4x + 6x}{2} = 2\cos \dfrac{10x - 8x}{2} \cos \dfrac{10x + 8x}{2}$

$\cos x \cos 5x = \cos x \cos 9x$

$\cos x \cos 5x - \cos x \cos 9x = 0$

$\cos x (\cos 5x - \cos 9x) = 0$

$\cos x \cdot (-2)\sin \dfrac{5x - 9x}{2}\sin \dfrac{5x + 9x}{2} = 0$

$\cos x \cdot \sin 2x \cdot \sin 7x = 0$

$\left[\begin{array}{ccc}\cos x = 0\\\ \sin 2x = 0\\ \ \sin 7x = 0\end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc}x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in Z \\x = \dfrac{\pi k}{2}, \ k \in Z \ \ \ \ \ \ \\x = \dfrac{\pi l}{7}, \ l \in Z \ \ \ \ \ \ \ \end{array}\right$

Объединим полученные корни и получим решение:

$x = \left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{\pi n}{7} \\ \\\dfrac{\pi n}{2} \\\end{array}\right, \ n \in Z$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение. Обратите внимание, что все функции косинуса в уравнении являются функциями угла.

Используя тригонометрический тождество cos^2(x) = 1/2 * (1 + cos(2x)), мы можем переписать уравнение следующим образом:

1/2 * (1 + cos(4x)) + 1/2 * (1 + cos(6x)) = 1/2 * (1 + cos(10x)) + 1/2 * (1 + cos(8x))

Упрощая это уравнение, получим:

1 + cos(4x) + 1 + cos(6x) = 1 + cos(10x) + 1 + cos(8x)

2 + cos(4x) + cos(6x) = cos(10x) + cos(8x)

Теперь мы можем использовать тригонометрические тождества для суммы и разности углов:

cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b) cos(a - b) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)

Применяя эти тождества, мы можем переписать уравнение следующим образом:

2 + cos(4x) + cos(6x) = cos(10x) + cos(8x) 2 + cos(4x) + cos(6x) = cos(10x) + cos(8x) 2 + [cos(4x) + cos(6x)] = [cos(10x) + cos(8x)] 2 + 2*cos(5x)cos(x) = 2cos(9x)*cos(x)

Делим обе части уравнения на 2*cos(x):

1 + cos(5x) = cos(9x)

Теперь мы можем решить это уравнение. Выполним перестановку терминов:

cos(9x) - cos(5x) = 1

Используем формулу разности косинусов:

-2 * sin((9x + 5x)/2) * sin((9x - 5x)/2) = 1

-2 * sin(7x) * sin(2x) = 1

Разделим обе части уравнения на -2:

sin(7x) * sin(2x) = -1/2

Теперь у нас есть произведение двух синусов, равное -1/2. Мы можем решить это уравнение графически или численными методами, такими как метод Ньютона или метод половинного деления.