Question

Вычислите:\\frac{6sin\alpha+5cos\alpha }{4sin\alpha-3cos\alpha } , если tg\alpha=3

Answer 1

Ответ:

$2\dfrac{5}{9}$

Пошаговое объяснение:

$\dfrac{6sin\alpha+5cos\alpha }{4sin\alpha-3cos\alpha } =[\dfrac{sina}{cosa}=3;sina=3cosa]= \dfrac{18cos\alpha+5cos\alpha }{12cos\alpha-3cos\alpha } =\dfrac{23cos\alpha }{9cos\alpha } =\\\\=\dfrac{23}{9} =2\dfrac{5}{9}$

Answer 2

Известно, что $\tan\alpha = \frac{{\sin\alpha}}{{\cos\alpha}}$. В данном случае, $\tan\alpha = 3$, что означает, что $\frac{{\sin\alpha}}{{\cos\alpha}} = 3$.

Мы также можем использовать тригонометрическую идентичность $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, чтобы выразить $\cos\alpha$ через $\sin\alpha$.

Из выражения $\frac{{\sin\alpha}}{{\cos\alpha}} = 3$ можно получить:

$\sin\alpha = 3\cos\alpha$

Из тригонометрической идентичности $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ можно выразить $\cos\alpha$ через $\sin\alpha$:

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (3\cos\alpha)^2} = \sqrt{1 - 9\cos^2\alpha}$

Теперь мы можем использовать полученные выражения для вычисления значения выражения $\frac{{6\sin\alpha + 5\cos\alpha}}{{4\sin\alpha - 3\cos\alpha}}$:

$\frac{{6\sin\alpha + 5\cos\alpha}}{{4\sin\alpha - 3\cos\alpha}} = \frac{{6(3\cos\alpha) + 5\cos\alpha}}{{4(3\cos\alpha) - 3\cos\alpha}} = \frac{{18\cos\alpha + 5\cos\alpha}}{{12\cos\alpha - 3\cos\alpha}} = \frac{{23\cos\alpha}}{{9\cos\alpha}}$

Здесь можно упростить выражение, сократив $\cos\alpha$:

$\frac{{23\cos\alpha}}{{9\cos\alpha}} = \frac{{23}}{{9}}$

Таким образом, $\frac{{6\sin\alpha + 5\cos\alpha}}{{4\sin\alpha - 3\cos\alpha}} = \frac{{23}}{{9}}$.