Question

Помогите решить дифференциальные уравнения:y''-6'-9y=0

Answer 1

1)$y'=10^{x+y}\\ \int ln10\cdot\dfrac{1}{10^y}dy=\int ln10\cdot10^xdx\\ -10^{-y}=10^x+C_1\\ y=-log_{10}(C-10^x)$

__________________________

2)$y''-6y'-9y=0\\ \lambda^2-6\lambda-9=0\\ \lambda=\dfrac{6\pm \sqrt{36+4*9}}{2}=3\pm 3\sqrt2\\ y=C_1e^{(3+3\sqrt2)x}+C_2e^{(3-3\sqrt2)x}$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, можно использовать метод характеристического уравнения. Предположим, что решение имеет вид y = e^(rt), где r - неизвестная константа.

Подставляя это предположение в исходное уравнение, получаем:

r^2 - 6r - 9 = 0

Это квадратное уравнение относительно r. Решим его с помощью квадратного корня:

r = (6 ± √(6^2 - 4 * 1 * (-9))) / 2 r = (6 ± √(36 + 36)) / 2 r = (6 ± √72) / 2 r = (6 ± 6√2) / 2 r = 3 ± 3√2

Таким образом, имеем два корня: r1 = 3 + 3√2 и r2 = 3 - 3√2.

Решение общего вида уравнения будет иметь вид:

y = C1 * e^((3 + 3√2)t) + C2 * e^((3 - 3√2)t),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Это общее решение дифференциального уравнения y'' - 6y' - 9y = 0.