Question

Найдите все пары целых x и y такие, что x^3 + y^3 + 3x^2 − 3y^2 + 3x + 3y = 9.

Answer 1

Разложим левую часть уравнения на множители

$x^3+y^3+3x^2-3y^2+3x+3y=(x+y)(x^2-xy+y^2)+\\ \\ +3(x-y)(x+y)+3(x+y)=(x+y)(x^2-xy+y^2+3x-3y+3)=9$

Решим уравнение в целых числах

$\displaystyle \left \{ {{x+y=3} \atop {x^2-xy+y^2+3x-3y+3=3}} \right.~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{x_1=1;~~ y_1=2} \atop {x_2=0;~~ y_2=3}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{x+y=-3} \atop {x^2-xy+y^2+3x-3y+3=-3}} \right.~~~\Rightarrow~~~ \varnothing$

$\displaystyle \left \{ {{x+y=9} \atop {x^2-xy+y^2+3x-3y+3=1}} \right.~~~\Rightarrow~~~\varnothing$

$\displaystyle \left \{ {{x+y=1} \atop {x^2-xy+y^2+3x-3y+3=9}} \right.~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{x=\dfrac{-3\pm\sqrt{105}}{6}} \atop {y=\dfrac{9\pm\sqrt{105}}{6}}} \right.$

Но это не целые х и у

$\displaystyle \left \{ {{x+y=-9} \atop {x^2-xy+y^2+3x-3y+3=-1}} \right.~~~\Rightarrow~~~\varnothing$

$\displaystyle \left \{ {{x+y=9} \atop {x^2-xy+y^2+3x-3y+3=1}} \right.~~~\Rightarrow~~~\varnothing$

Ответ: (1;2), (0;3).

Answer 2

Данное уравнение является кубическим в общем виде, и для его решения требуется подойти к нему соответствующим образом. Прежде всего, предположим, что x и y - целые числа.

Уравнение: x^3 + y^3 + 3x^2 - 3y^2 + 3x + 3y = 9

Чтобы упростить уравнение, заметим, что мы можем добавить и вычесть 1 из обеих сторон:

x^3 + y^3 + 3x^2 - 3y^2 + 3x + 3y - 1 - 1 = 9 - 1 - 1

Теперь перепишем это уравнение в виде суммы кубов:

(x^3 + 3x^2 + 3x) + (y^3 - 3y^2 + 3y) - 2 = 7

Используем формулу суммы кубов: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2):

(x + 1)^3 + (y - 1)^3 - 2 = 7

Теперь у нас есть:

(x + 1)^3 + (y - 1)^3 = 9

Мы ищем пары целых чисел x и y, которые удовлетворяют этому уравнению.

Далее, чтобы найти целочисленные решения, можно перебирать значения x и y. Попробуем для x и y значения от -10 до 10 и проверим каждую пару:

1. При x = 0, уравнение не имеет решений, так как y^3 - 3y^2 + 3y = 9, но куб никогда не будет равен 9.

2. При x = 1, у нас будет (1 + 1)^3 + (y - 1)^3 = 9, тогда (y - 1)^3 = 4. Это имеет решение y = 2, потому что 2^3 = 8.

Таким образом, одной из пар целых чисел, удовлетворяющих уравнению, будет (x, y) = (1, 2).

Если продолжить перебор других значений x, мы не найдем других пар целых чисел, удовлетворяющих уравнению. Поэтому единственной парой целых чисел, которая удовлетворяет данному уравнению, будет (x, y) = (1, 2).