Question

Найти наибольшее значение функции у=(cos(1/x)/(4cos^2(1/x)+1)

Answer 1

Задача равносильна нахождению наименьшего значения функции $f(t)=\dfrac{t}{4t^2+1}$ на отрезке $[-1;1]$

$f'(t)=\dfrac{1*(4t^2+1)-t(8t)}{(4t^2+1)^2}=\dfrac{(-4t^2+1)}{(4t^2+1)^2}=\dfrac{(1-2t)(1+2t)}{(4t^2+1)^2}\\ f'(t)=0t=\pm\dfrac{1}{2}$

Знаки производной -1____-____-1/2____+____1/2____-_____1

Тогда для нахождения наибольшего значения необходимо сравнить значения в точках -1 и 1/2

$f(-1)=-1/5\\ f(1/2)=\dfrac{\frac{1}{2}}{4*\frac{1}{4}+1}=\dfrac{1}{4}$

При этом $y(\dfrac{3}{\pi})=\dfrac{cos\dfrac{\pi}{3}}{4(cos\dfrac{\pi}{3})^2+1}=\dfrac{\frac{1}{2}}{4*\frac{1}{4}+1}=\dfrac{1}{4}$ - значение достигается исходной функцией по крайней мере в одной точке.

Ответ: $\dfrac{1}{4}$

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции у=(cos(1/x))/(4cos^2(1/x)+1), нужно проанализировать её поведение в окрестности точки x=0 и определить, существует ли локальный максимум.

Для начала, давайте посмотрим, как ведет себя функция у=(cos(1/x))/(4cos^2(1/x)+1) в окрестности точки x=0:

При x → 0, значение 1/x стремится к бесконечности. Таким образом, выражение cos(1/x) будет осциллировать между -1 и 1 при приближении к нулю. Также, заметим, что знаменатель 4cos^2(1/x)+1 всегда положителен и не равен нулю.

Теперь давайте рассмотрим числитель cos(1/x). Функция cos(x) является периодической с периодом 2π и колеблется между -1 и 1. Таким образом, при приближении x к нулю, cos(1/x) будет бесконечно осциллировать между значениями -1 и 1.

Теперь обратим внимание на знак числителя и знаменателя. Мы видим, что числитель cos(1/x) бесконечно осциллирует между -1 и 1, а знаменатель 4cos^2(1/x)+1 всегда положителен. Таким образом, функция у=(cos(1/x))/(4cos^2(1/x)+1) будет осциллировать между положительными и отрицательными значениями бесконечное количество раз при приближении x к нулю.

Так как функция осциллирует бесконечное количество раз в окрестности x=0 и не имеет ограниченных значений, она не имеет конечного наибольшего значения.

Поэтому ответ: наибольшего значения у этой функции нет.