Question

Решите уравнение cos(x)=sin(пи/2 + 2x) и выберите корни на отрезке [-11пи/2 ; - 4пи]​

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для решения уравнения cos(x) = sin(π/2 + 2x) на указанном отрезке [-11π/2; -4π], мы должны сначала привести его к виду, который позволит нам найти корни.

Используем тригонометрические тождества:

1. sin(π/2 + θ) = cos(θ) и
2. cos(θ) = sin(π/2 - θ).

Заменим sin(π/2 + 2x) с помощью тождества 1: cos(x) = cos(2x).

Теперь приведем оба члена уравнения к нулю: cos(x) - cos(2x) = 0.

Используем тождество cos(A) - cos(B) = -2 * sin((A + B) / 2) * sin((A - B) / 2): -2 * sin((x + 2x) / 2) * sin((x - 2x) / 2) = 0.

Преобразуем выражение: -2 * sin(3x / 2) * sin(-x / 2) = 0.

Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это произойдет только тогда, когда один из множителей равен нулю:

1. sin(3x / 2) = 0 или
2. sin(-x / 2) = 0.

Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно:

1. sin(3x / 2) = 0: Найдем все значения x, удовлетворяющие уравнению sin(3x / 2) = 0 на указанном отрезке [-11π/2; -4π].

   Найдем значения x, при которых sin(3x / 2) = 0: 3x / 2 = k * π, где k - целое число. x = (2 * k * π) / 3.

   Найдем подходящие значения x на отрезке [-11π/2; -4π]:

   • При k = -6: x = (2 * (-6) * π) / 3 = -4π.
   • При k = -3: x = (2 * (-3) * π) / 3 = -2π.

2. sin(-x / 2) = 0: Найдем все значения x, удовлетворяющие уравнению sin(-x / 2) = 0 на указанном отрезке [-11π/2; -4π].

   x / 2 = k * π, где k - целое число. x = 2 * k * π.

   Найдем подходящие значения x на отрезке [-11π/2; -4π]:

   • При k = -11: x = 2 * (-11) * π = -22π.
   • При k = -10: x = 2 * (-10) * π = -20π.
   • При k = -9: x = 2 * (-9) * π = -18π.
   • При k = -8: x = 2 * (-8) * π = -16π.
   • При k = -7: x = 2 * (-7) * π = -14π.
   • При k = -5: x = 2 * (-5) * π = -10π.

Таким образом, корни уравнения cos(x) = sin(π/2 + 2x) на отрезке [-11π/2; -4π] равны:

• x = -4π,
• x = -2π,
• x = -22π,
• x = -20π,
• x = -18π,
• x = -16π,
• x = -14π,
• x = -10π.