Question

Вычислить площадь области, ограниченной линиями :x=y, y=2-x²

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для вычисления площади области, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и затем проинтегрировать функцию, представляющую разность между нижней и верхней кривой.

Дано:

1. Линия x = y
2. Кривая y = 2 - x²

Первым шагом найдем точки их пересечения, т.е. значения x и y, при которых оба уравнения выполняются одновременно:

x = y и y = 2 - x²

Подставим x в уравнение (1):

x = 2 - x²

Теперь решим квадратное уравнение:

x² + x - 2 = 0

(x + 2)(x - 1) = 0

x = -2 или x = 1

Подставим найденные значения x обратно в уравнение (1) для получения соответствующих y:

Для x = -2:

y = -2

Для x = 1:

y = 1

Таким образом, точки пересечения кривых: (-2, -2) и (1, 1).

Теперь, чтобы найти площадь между кривыми, проинтегрируем разность между верхней кривой (y = 2 - x²) и нижней кривой (x = y) на интервале [-2, 1]:

Площадь = ∫[от -2 до 1] (2 - x² - x) dx

Посчитаем интеграл:

Площадь = ∫[от -2 до 1] (2 - x² - x) dx

Площадь = ∫[от -2 до 1] (2 - x² - x) dx = [2x - (x^3)/3 - (x^2)/2] [от -2 до 1]

Площадь = [21 - (1^3)/3 - (1^2)/2] - [2(-2) - ((-2)^3)/3 - ((-2)^2)/2]

Площадь = [2 - 1/3 - 1/2] - [-4 + 8/3 - 2]

Площадь = [5/6] - [2/3]

Площадь = 1/6

Таким образом, площадь области, ограниченной линиями x = y и y = 2 - x², равна 1/6 квадратных единиц (единиц квадратных).