Question

Найдите значение производной от функции f(z)=cos (z^3+π+1) в точке z0=i. В ответ введите действительную часть результата, округлив до трёх цифр после десятичной точки.

Answer 1

Решение приложено...

Answer 2

Для нахождения значения производной от функции f(z) = cos(z^3 + π + 1) в точке z0 = i, мы должны сначала вычислить производную функции по переменной z и затем подставить z0 = i.

Давайте начнем с вычисления производной:

f'(z) = -sin(z^3 + π + 1) * (3z^2)

Теперь подставим z0 = i:

f'(i) = -sin(i^3 + π + 1) * (3i^2)

Чтобы упростить выражение, давайте посчитаем значения:

i^3 = i * i * i = -i i^2 = -1

Теперь можем записать:

f'(i) = -sin(-i + π + 1) * (3 * (-1))

Теперь найдем значение синуса:

sin(-i + π + 1) = sin(π + 1 - i)

sin(π + 1) = sin(π) * cos(1) + cos(π) * sin(1) = 0 * cos(1) + (-1) * sin(1) = -sin(1)

sin(-i + π + 1) = -sin(1)

Теперь можно записать:

f'(i) = -(-sin(1)) * (-3) = 3 * sin(1)

Теперь вычислим значение sin(1):

sin(1) ≈ 0.841

Теперь, чтобы найти действительную часть результата, округлим значение 3 * sin(1) до трех цифр после десятичной точки:

3 * sin(1) ≈ 3 * 0.841 ≈ 2.524

Таким образом, действительная часть производной функции f(z) = cos(z^3 + π + 1) в точке z0 = i округлена до трех цифр после десятичной точки и равна 2.524.