Question

Найти интеграл от 1/(Sinx(sinx+1))

Answer 1

$\int \frac{dx}{sinx(sinx+1)}=\Big [\; t=tg\frac{x}{2}\; ,\; sinx=\frac{2t}{1+t^2}\; ,\; dx=\frac{2\, dt}{1+t^2}\; \Big]=\\\\=\int \frac{2\, dt}{(1+t^2)\cdot \frac{2t}{1+t^2}\cdot (\frac{2t}{1+t^2}+1)}=\int \frac{(1+t^2)dt}{t\cdot (2t+1+t^2)}=\int \frac{(1+t^2)\, dt}{t\cdot (t+1)^2}=Q\\\\\\\frac{1+t^2}{t\cdot (t+1)^2}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t+1}+\frac{C}{(t+1)^2}\\\\1+t^2=A(t+1)^2+Bt(t+1)+Ct\; ;\\\\t=0:\; \; A=\frac{1+t^2}{(t+1)^2}=1\\\\t=-1:\; \; C=\frac{1+t^2}{t}=\frac{1+1}{-1}=-2$

$t^2\; |\; 1=A+B\; \; \to \; \; B=1-A=1-1=0\\\\\\Q=\int \frac{dt}{t}-2\int \frac{dt}{(t+1)^2}=ln|t|-2\cdot \frac{(t+1)^{-1}}{-1}+C=ln|tg\frac{x}{2}|+\frac{2}{tg\frac{x}{2}+1}+C\; .$

Answer 2

Ответ:

Решение представлено на картинке

Пошаговое объяснение:

Answer 3

Для нахождения интеграла от функции 1/(sin(x)(sin(x)+1)) необходимо применить метод частичных дробей. Воспользуемся следующей формулой:

1/(sin(x)(sin(x)+1)) = A/sin(x) + B/(sin(x)+1)

где A и B - некоторые константы, которые нужно найти.

Чтобы найти значения A и B, раскроем правую часть уравнения:

1 = A(sin(x)+1) + Bsin(x)

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях sin(x) на обеих сторонах:

1 = A + B 0 = A

Отсюда получаем, что A = 0, и соответственно B = 1.

Теперь вернемся к исходному интегралу:

∫(1/(sin(x)(sin(x)+1))) dx = ∫(0/sin(x) + 1/(sin(x)+1)) dx

Первый интеграл равен нулю, поэтому остается только второй интеграл:

∫(1/(sin(x)+1)) dx

Для решения этого интеграла воспользуемся заменой переменной. Положим u = sin(x) + 1, тогда du = cos(x) dx.

∫(1/(sin(x)+1)) dx = ∫(1/u) du = ln|u| + C

Подставляем обратную замену:

ln|sin(x)+1| + C

Итак, интеграл от 1/(sin(x)(sin(x)+1)) равен ln|sin(x)+1| + C, где C - произвольная постоянная.