Question

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны 3√2. O-точка пересечения медиан треугольника ABC. Найдите длину отрезка прямой, проходящей через точку O и параллельной прямой A1C, расположенного внутри призмы.

Answer 1

Ответ: 2√3

Пошаговое объяснение: 1) Из Δ АА₁С-прямоугольного по т. Пифагора имеем: А₁С² = АА²+АС² =(3√2)²+(3√2)²=28+18=36, значит

А₁С=6                                                                                                                 2)Через точку О проведём отрезок ОЕ ║ А₁С  Е- точка пересечения  отрезка ОЕ и ребра АА₁      3)Рассмотрим Δ ЕАО и Δ А₁АС, они прямоугольные, т.к. АА₁⊥пл.АВС, у них ∠ А₁СА =  ∠ЕОА, т.к. ОЕ║А₁С    Значит Δ ЕАО и Δ А₁АС подобны, ⇒ их  соотв.стороны пропорциональны, т.е     А₁С:ОЕ=АС:АО    4) Используем св-во медиан правильного треугольника (точкой пересечения они делятся в отношении 2:1, т.е Отрезок АО составляет 2/3 части всей медианы АД.            АД= АВ·Sin∠A = 3√2 · √3/2 = 3√6/2                                       Значит АО=2/3 · АД =√6                                                                                                    5) подставим в пропорцию из пункта 3 , получим  6 : ОЕ = 3√2 : √6   ОЕ = 2√3

Answer 2

Для решения этой задачи давайте рассмотрим сечение правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, параллельной боковым граням и проходящей через точку O (точку пересечения медиан треугольника ABC).

Шаг 1: Найдем координаты точки O. Так как O - точка пересечения медиан треугольника ABC, то она является его центром тяжести. Для правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, медианы треугольника ABC пересекаются в центре тяжести призмы. Поскольку все ребра призмы равны 3√2, центр тяжести находится на расстоянии 1/3 от каждой вершины к центру призмы.

Пусть вершины треугольника ABC имеют координаты A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB) и C(xC, yC, zC). Тогда координаты точки O(xO, yO, zO) равны:

xO = (xA + xB + xC) / 3 yO = (yA + yB + yC) / 3 zO = (zA + zB + zC) / 3

Шаг 2: Найдем координаты точки P. Так как точка P лежит на прямой, параллельной прямой A1C и проходящей через точку O, то координаты точки P(xP, yP, zP) будут иметь следующий вид:

xP = xO + m * (xC1 - xA1) yP = yO + m * (yC1 - yA1) zP = zO + m * (zC1 - zA1)

где (xA1, yA1, zA1) и (xC1, yC1, zC1) - координаты вершин A1 и C1 соответственно, а m - некоторый параметр.

Шаг 3: Найдем длину отрезка OP. Длина отрезка OP вычисляется по формуле для расстояния между двумя точками в пространстве:

Длина OP = √((xP - xO)^2 + (yP - yO)^2 + (zP - zO)^2)

Теперь, зная координаты вершин треугольника ABC и длину ребра 3√2, можно выполнить все необходимые вычисления. Обратите внимание, что треугольник ABC и его медианы находятся в одной плоскости, поэтому координаты точки O можно получить, вычислив среднее значение координат вершин треугольника ABC. Далее, подставив координаты точек A1 и C1 в уравнение прямой и подобрав подходящее значение m, можно найти координаты точки P. Наконец, рассчитав длину отрезка OP, получим ответ на задачу.