Question

Найти частное решение(частный интеграл) д.у. (2x+y)dy=ydx+4lnydy, y(0)=1 (Ответ:x=2lny+1-y). Прошу вас от чистого серда ответить быстро и развернуто. Заранее благодарю.

Answer 1

$(2x+y-4\ln y)dy-ydx=0$

Уравнение $M(x;y)dx+N(x;y)dy=0$ есть уравнением в полных дифференциалах тогда, когда выполнено равенство $M'_y(x;y)=N'(x;y)$. Данное уравнение имеет интегрирующий множитель $\mu (y)$,т.е.

$\mu (y)M(x;y)+\mu (y)N(x;y)y'=0\\ -y\cdot \dfrac{\mu(y)}{dy}-\mu(y)=2\mu(y)\\ \\ \mu (y)=\displaystyle \int -\dfrac{3}{y}dy=\dfrac{1}{y^3}$

Умножив обе части уравнения на интегрирующий множитель, получим, что данное диф. уравнение будет в полных дифференциалах. Легко проверить: $M'_y(x;y)=\dfrac{2}{y^3}=N'_x(x;y)$

Если функция $F(x;y)$ удовлетворяет $F'_x(x;y)=M(x;y)$ и $F'_y(x;y)=N(x;y)$ , то решение $F(x;y)=C$, где $C\in \mathbb{R}$.

Интегрируя функцию F по х, получим

$F(x;y)=\displaystyle \int M(x;y)dx=\int -\dfrac{dx}{y^2}=-\dfrac{x}{y^2}+C(y)$

Дифференцируя по у, получим $F'_y(x;y)=\dfrac{2x}{y^3}+C'(y)$

Мы имеем $F'_y(x;y)=N(x;y)=-\dfrac{4\ln y-y-2x}{y^3}$ отсюда $C'(y)=-\dfrac{4\ln y-y}{y^3}$ получаем $C(y)=\displaystyle \int \left(-\dfrac{4\ln y-y}{y^3}\right)dy=-4\cdot \left(-\dfrac{\ln y}{2y^2}-\dfrac{1}{4y^2}\right)-\dfrac{1}{y}$

Общий интеграл: $-4\cdot \left(-\dfrac{\ln y}{2y^2}-\dfrac{1}{4y^2}\right)-\dfrac{1}{y}-\dfrac{x}{y^2}=C$

Подставив начальные условия, мы получим

-1 - 1 = C

C = -2

$\boxed{-4\cdot \left(-\dfrac{\ln y}{2y^2}-\dfrac{1}{4y^2}\right)-\dfrac{1}{y}-\dfrac{x}{y^2}=-2~~~\Rightarrow~~~ x=2\ln y+1-y}$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения (ДУ) можно использовать метод вариации постоянной. Для этого выполним следующие шаги:

Шаг 1: Запишем исходное уравнение: (2x + y)dy = ydx + 4lnydy

Шаг 2: Перенесем все дифференциалы на одну сторону уравнения и выразим все слагаемые с dy: (2x + y - y)dy = ydx + 4lnydy - 4lnydy (2x)dy = ydx

Шаг 3: Поделим обе части уравнения на y: (2x)dy/y = dx

Шаг 4: Проинтегрируем обе части уравнения: ∫(2x)dy/y = ∫dx

Шаг 5: Проинтегрируем левую и правую части уравнения: ∫(2x)dy/y = x + C

где C - постоянная интегрирования.

Шаг 6: Найдем частное решение, используя начальное условие y(0) = 1: Подставим x = 0 и y = 1 в уравнение ∫(2x)dy/y = x + C: ∫(2*0)dy/1 = 0 + C 0dy = C C = 0

Шаг 7: Теперь найдем частное решение, подставив значение C в уравнение ∫(2x)dy/y = x + C: ∫(2x)dy/y = x + 0 ∫(2x)dy/y = x

Шаг 8: Интегрируем левую часть по y, а правую по x: ∫2x dy = ∫x dx

Шаг 9: Проинтегрируем и найдем ответ: ∫2x dy = x^2/2 + K_1

где K_1 - постоянная интегрирования.

Шаг 10: Итак, частное решение имеет вид: x^2/2 + K_1 = x

Шаг 11: Чтобы найти значение постоянной K_1, используем начальное условие y(0) = 1: Подставим x = 0 и y = 1 в полученное уравнение: (0)^2/2 + K_1 = 0 K_1 = 0

Шаг 12: Таким образом, окончательное частное решение имеет вид: x^2/2 = x

Шаг 13: Перепишем это уравнение в стандартной форме: x^2 - 2x = 0

Шаг 14: Решим квадратное уравнение: x(x - 2) = 0

Шаг 15: Найдем два корня: x = 0 и x = 2

Шаг 16: Запишем окончательное решение, используя y и найденные значения x: x = 0: 0 = 0 (выполняется)

x = 2: x = 2lny + 1 - y

Таким образом, частное решение (частный интеграл) данного дифференциального уравнения имеет вид: x = 2lny + 1 - y