Question

Плоскость β пересекает отрезки АВ и АС в их серединах. Докажите, что прямая ВС параллельна плоскости β.

Answer 1

решение смотрите во вложении

Answer 2

Для доказательства, что прямая ВС параллельна плоскости β, нужно показать, что угол между прямой ВС и плоскостью β равен нулю.

Предположим, что точка D является серединой отрезка ВС, а точка E является серединой отрезка АВ. Также предположим, что прямая АС пересекает плоскость β в точке F.

Поскольку точка D является серединой отрезка ВС, то отрезок ВД равен СД (по определению середины отрезка). Аналогично, так как точка E является серединой отрезка АВ, отрезок АЕ равен ВЕ.

Теперь рассмотрим треугольники СЕF и СДФ:

1. СД = ДВ (по определению середины отрезка).
2. СЕ = ЕВ (по определению середины отрезка).
3. ФС = ФС (общая сторона).

Из этих условий следует, что треугольники СЕФ и СДФ равны по сторонам, что приводит к тому, что углы, образованные этими сторонами, равны между собой:

∠СФД = ∠СФЕ.

Теперь рассмотрим плоскости β и (АСФ). Отрезок АС пересекает плоскость β в точке F. Мы уже доказали, что угол между прямой ВС и плоскостью (АСФ) равен ∠СФД. А так как ∠СФД = ∠СФЕ, то угол между прямой ВС и плоскостью β также равен ∠СФЕ.

Теперь обратим внимание на треугольники АЕF и ВЕФ:

1. АЕ = ВЕ (по определению середины отрезка).
2. АФ = ВФ (по определению середины отрезка).
3. ФЕ = ФЕ (общая сторона).

Из этих условий следует, что треугольники АЕФ и ВЕФ равны по сторонам, что приводит к тому, что углы, образованные этими сторонами, равны между собой:

∠ФЕА = ∠ФЕВ.

Однако, так как углы ∠СФЕ и ∠ФЕА образуются пересечением прямой ВС с плоскостью β, и эти углы равны между собой, то прямая ВС и плоскость β параллельны.

Таким образом, мы доказали, что прямая ВС параллельна плоскости β.