Question

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. y'=(1+y^2)/(1+x^2)

Answer 1

$y'=\dfrac{1+y^2}{1+x^2}\\\\\\\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1+y^2}{1+x^2}\\\\\\\int \dfrac{dy}{1+y^2}=\int \dfrac{dx}{1+x^2}\\\\\\arctgy=arctgx+C\\\\y=tg(arctgx+C)$

Answer 2

Ответ:

надеюсь поймёшь почерк ❤️☺️

Answer 3

Для решения данного дифференциального уравнения, мы должны найти такую функцию y(x), которая удовлетворяет уравнению y' = (1 + y^2) / (1 + x^2).

Дифференциальное уравнение является разделяющимся, и мы можем его решить с помощью метода разделения переменных. Для этого выполним следующие шаги:

1. Разделим уравнение, переместив все члены, содержащие y, на одну сторону, а все члены, содержащие x, на другую сторону: (1 + x^2) dy = (1 + y^2) dx.

2. Теперь проинтегрируем обе стороны: ∫(1 + x^2) dy = ∫(1 + y^2) dx.

3. Проинтегрируем обе части уравнения:

∫(1 + x^2) dy = x + ∫y^2 dx.

4. Проинтегрируем левую часть уравнения относительно y, а правую часть относительно x:

y + (x^3/3) = x + (y^3/3) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

5. Теперь выразим y:

y^3 - y + (x^3/3) - x - C = 0.

Это уравнение нелинейное, и в общем случае оно не имеет аналитического решения для y(x). Однако мы можем записать общее решение в неявной форме, объединив все слагаемые на одной стороне:

y^3 - y = x - (x^3/3) + C.

Обратите внимание, что данное уравнение определяет семейство кривых, которые удовлетворяют исходному дифференциальному уравнению. Для определения конкретной кривой необходимо задать начальное условие (начальную точку) y(x_0) = y_0, чтобы найти конкретное значение C.