Question

ИНТЕГРАЛ DX/(SINX-COSX) СРОЧНОО

Answer 1

$\displaystyle\int\frac{dx}{sinx-cosx}=\int\frac{2}{1+t^2}*\frac{1+t^2}{t^2+2t-1}dt=2\int\frac{dt}{t^2+2t-1}=\\=2\int\frac{d(t+1)}{(t+1)^2-2}=\frac{1}{\sqrt2}ln|\frac{t+1-\sqrt2}{t+1+\sqrt2}|+C=\\=\frac{1}{\sqrt2}ln|\frac{tg\frac{x}{2}+1-\sqrt2}{tg\frac{x}{2}+1+\sqrt2}|+C\\\\\\t=tg\frac{x}{2};x=2arctgt;dx=\frac{2}{1+t^2}dt\\sinx=\frac{2t}{1+t^2};cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\sinx-cosx=\frac{t^2+2t-1}{1+t^2}$

Answer 2

Для вычисления интеграла $\int \frac{dx}{\sin(x) - \cos(x)}$, воспользуемся методом замены переменных.

1. Начнем с замены переменных: Положим $u = \sin(x) - \cos(x)$.

2. Теперь возьмем производную от $u$ по $x$ и решим уравнение относительно $dx$: $\frac{du}{dx} = \cos(x) + \sin(x) \Rightarrow dx = \frac{du}{\cos(x) + \sin(x)}$.

3. Подставим $u$ и $dx$ в исходный интеграл: $\int \frac{dx}{\sin(x) - \cos(x)} = \int \frac{du}{u}$.

4. Проинтегрируем получившийся интеграл по переменной $u$: $\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

5. Вернемся к исходной переменной: $\int \frac{dx}{\sin(x) - \cos(x)} = \ln|\sin(x) - \cos(x)| + C$.

Таким образом, окончательное решение интеграла $\int \frac{dx}{\sin(x) - \cos(x)}$ равно $\ln|\sin(x) - \cos(x)| + C$, где $C$ - произвольная постоянная.