Question

Решите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Answer 1

Ответ: y=3/ln/(3*x-1)/C/.

Пошаговое объяснение:

Разделим обе части уравнения на произведение y²*(3*x-1). После этого оно примет вид dy/y²+dx/(3*x-1)=0, или dy/y²+1/3*d(3*x-1)/(3*x-1)=0. Интегрируя, получаем равенство -1/y+1/3*ln/3*x-1/=1/3*ln/C/, где C - постоянная, не равная нулю. Отсюда y=3/ln/(3*x-1)/C/.

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, мы должны найти такую функцию, которая удовлетворяет уравнению и которая может быть выражена в виде произведения функций, содержащих только одну из переменных. Общий вид уравнения с разделяющимися переменными выглядит следующим образом:

$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$

где $f(x)$ и $g(y)$ - функции переменных $x$ и $y$, соответственно.

Давайте рассмотрим пример:

$\frac{dy}{dx} = x \cdot y$

Для решения данного уравнения с разделяющимися переменными, мы будем интегрировать обе стороны уравнения по соответствующим переменным:

$\frac{dy}{y} = x \, dx$

Теперь проинтегрируем обе стороны:

$\int \frac{dy}{y} = \int x \, dx$

Интегрируя, получим:

$\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C$

где $C$ - постоянная интегрирования.

Теперь решим уравнение относительно $y$:

$|y| = e^{\frac{x^2}{2} + C}$

$y = \pm e^C \cdot e^{\frac{x^2}{2}}$

$y = A \cdot e^{\frac{x^2}{2}}$

где $A = \pm e^C$ - произвольная константа.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными имеет вид:

$y = A \cdot e^{\frac{x^2}{2}}$

где $A$ - произвольная константа.