Question

Докажите что значение выражения 3^9-4^3 делится на 23. Даю 20 баллов.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

3⁹-4³=(3³)³-4³=27³-4³=(27-4)(27²+27*4+4²)=23*(27²+27*4+4²)

Есть множитель 23 - все выражение делится на 23.

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $3^9 - 4^3$ делится на 23, давайте рассмотрим его по модулю 23.

Мы знаем, что $a \equiv b \mod m$ означает, что $a$ и $b$ дают одинаковые остатки при делении на $m$.

Теперь давайте вычислим остатки $3^9$ и $4^3$ при делении на 23:

$3^9 \mod 23$:

$3^1 \equiv 3 \mod 23$ $3^2 \equiv 9 \mod 23$ $3^3 \equiv 27 \equiv 4 \mod 23$ $3^4 \equiv 12 \mod 23$ $3^5 \equiv 36 \equiv 13 \mod 23$ $3^6 \equiv 39 \equiv 16 \mod 23$ $3^7 \equiv 48 \equiv 2 \mod 23$ $3^8 \equiv 6 \mod 23$ $3^9 \equiv 18 \mod 23$

$4^3 \mod 23$:

$4^1 \equiv 4 \mod 23$ $4^2 \equiv 16 \mod 23$ $4^3 \equiv 64 \equiv 18 \mod 23$

Теперь, заменим $3^9$ и $4^3$ в исходном выражении и посчитаем:

$3^9 - 4^3 \equiv 18 - 18 \equiv 0 \mod 23$

Таким образом, выражение $3^9 - 4^3$ действительно делится на 23, что и требовалось доказать.