Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^3+3/2x^2-6x+21 на отрезке [-1;2]

Answer 1

1) Найдем экстремуму функции:

f'(x)=0 = 3x²+3x-6

Решаем квадратное уравнение:

x₁=(-3+9)/6=1;

x₂=(-3-9)/6=-2.

При x<x₂ и x>x₁  f'(x)>0, при x₂<x<x₁ f'(x)>0.

В таком случае: x₁  - точка локального минимума, x₂  - точка локального максимума.

Значение f(x₁)=1+3/2-6+21=17.5

На краях отрезка: f(-1)=-1+3/2+6+21 = 27,5

f(2)=8+6-12+21 = 23

Таким образом: наибольшее значение функции - в точке x=-1, и равно 27,5; наименьшее значение функции - в точке x=1, и равно 17.5.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на отрезке [-1;2], нужно проанализировать значения функции в крайних точках и в критических точках внутри данного интервала.

1. Найдем значения функции в концах отрезка:

• При x = -1: f(-1) = (-1)^3 + 3/2(-1)^2 - 6(-1) + 21 f(-1) = -1 + 3/2 + 6 + 21 f(-1) = 26.5

• При x = 2: f(2) = 2^3 + 3/2(2)^2 - 6(2) + 21 f(2) = 8 + 6 - 12 + 21 f(2) = 23

2. Найдем критические точки, то есть точки, где производная функции равна нулю. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

f(x) = x^3 + 3/2x^2 - 6x + 21

f'(x) = 3x^2 + 3x - 6

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

3x^2 + 3x - 6 = 0

Используя квадратное уравнение, получим два значения для x:

x = (-3 + √(3^2 - 43(-6)))/2*3 = (-3 + √(9 + 72))/6 = (-3 + √81)/6 = (-3 + 9)/6 = 6/6 = 1

x = (-3 - √(3^2 - 43(-6)))/2*3 = (-3 - √(9 + 72))/6 = (-3 - √81)/6 = (-3 - 9)/6 = -12/6 = -2

3. Теперь найдем значения функции в найденных критических точках:

• При x = 1: f(1) = 1^3 + 3/2(1)^2 - 6(1) + 21 f(1) = 1 + 3/2 - 6 + 21 f(1) = 15.5

• При x = -2: f(-2) = (-2)^3 + 3/2(-2)^2 - 6(-2) + 21 f(-2) = -8 + 3/2(4) + 12 + 21 f(-2) = -8 + 6 + 12 + 21 f(-2) = 31

4. Найденные значения функции:

f(-1) = 26.5 f(2) = 23 f(1) = 15.5 f(-2) = 31

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-1;2] равно 15.5 (достигается в точке x = 1), а наибольшее значение равно 31 (достигается в точке x = -2).