Question

Интегралы.Обчислить площадь фигуры ограниченой графиками функцый- y=(x+1)^2 ; y^2=x+1

Answer 1

Т.к первое уравнение - это парабола сдвинутая  на одну единицу влево и её ветви направлены в верх, то нам понадомится только верхняя часть параболы y^2=x+1

$S=\iint{dxdy}=\int\limits^0_{-1}{dx}\int\limits^{\sqrt{x+1}}_{(x+1)^2}dy=\int\limits^0_{-1}{\sqrt{x+1}-x^2+2x+1dx}=\left(2\dfrac{(x+1)^{3/2}}{3}-\dfrac{x^3}{3}+x^2+x\right)\Big|^0_{-1}$$=\dfrac{1}{3}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций y = (x+1)^2 и y^2 = x+1, необходимо найти точки пересечения этих функций и затем вычислить определенный интеграл площади между этими точками.

1. Найдем точки пересечения функций:

   Подставим уравнение первой функции во второе: (x+1)^4 = x+1

   Переносим все на одну сторону: (x+1)^4 - x - 1 = 0

   Это уравнение не имеет аналитического решения. Мы можем найти приближенные численные значения точек пересечения, используя численные методы, такие как метод Ньютона или метод бисекции.

2. Вычисление площади:

   После того как мы найдем точки пересечения, предположим, что они будут обозначены как x1 и x2. Тогда площадь между кривыми будет равна:

   S = ∫[x1, x2] (y^2 - (x+1)^2) dx

   Рассчитаем это выражение и выполним интегрирование по указанным пределам, используя найденные значения x1 и x2.

Итак, чтобы рассчитать площадь, вам необходимо найти точки пересечения уравнений и выполнить указанный выше интеграл. Так как уравнение не имеет аналитического решения, точные значения могут потребовать численных методов или использования специализированного программного обеспечения.