Question

Срочно решите задачу x^3*y''+x^2*y'=1​

Answer 1

$x^3y''+x^2y'=1\\ \\ xy''+y'=\dfrac{1}{x^2}\\ \\ \Big(xy'\Big)'=\dfrac{1}{x^2}\\ \\ \\ \displaystyle xy'=\int \dfrac{dx}{x^2}=-\dfrac{1}{x}+C_1\\ \\ y'=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{C_1}{x}\\ \\ y=\int \left(-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{C_1}{x}\right)dx=\dfrac{1}{x}+C_1\ln |x|+C_2$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, давайте воспользуемся методом вариации постоянных. Предположим, что решение имеет вид y(x) = x^m, где m - некоторая неизвестная константа.

Подставим это предположение в уравнение и найдем производные y'(x) и y''(x):

y(x) = x^m y'(x) = mx^(m-1) y''(x) = m(m-1)*x^(m-2)

Теперь подставим производные в исходное уравнение:

x^3 * y'' + x^2 * y' = 1 x^3 * [m*(m-1)x^(m-2)] + x^2 * [mx^(m-1)] = 1 m*(m-1)x^m + mx^m = 1 m*(m-1+m)*x^m = 1

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x к нулю:

m*(m+1) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения для m:

1. m = 0
2. m = -1

Теперь найдем соответствующие решения для y(x) для каждого значения m:

1. m = 0: y(x) = x^0 = 1

2. m = -1: y(x) = x^(-1) = 1/x

Таким образом, общее решение уравнения будет:

y(x) = C1 * 1 + C2 * (1/x)

где C1 и C2 - произвольные постоянные.