Question

На планете N192020 сутки длятся 19 часов. Астронавтам, отправляющимся для исследования этой планеты, изготовили специальные часы, на циферблат которых нанесены числа от 1 до 19. Часы имеют секундную, минутную и часовую стрелки. После не совсем удачного приземления у одного из астронавтов секундная стрелка стала вращаться с другой постоянной скоростью (но неизвестно быстрее или медленнее), а скорости движения других стрелок не изменились. Известно, что каждый раз, в начале суток все три стрелки совпадают. Сколько раз за сутки все три стрелки могут совпасть? Если ответов несколько, найдите их все.

Answer 1

Ответ:

Рассмотрим сначала вариант наиболее ожидаемого решения, математического. Во-первых, представьте ситуацию, когда часовая и минутная стрелки наложились. Все знают, что это происходит в полночь, затем приблизительно в 1:05, 2:10, 3:15 и так далее. Другими словами, они накладываются друг на друга каждый час, за исключением периода от 11:00 до 12:00. В 11:00 более быстрая минутная стрелка находится на 12, а более медленная часовая — на 11:00. До 12:00 дня они друг с другом не встретятся, и поэтому их наложения в районе 11 часов не будет.

Таким образом, за каждый 12-часовой период происходит 11 наложений. Они равномерно распределены во времени, поскольку обе стрелки двигаются с постоянной скоростью. Это означает, что интервалы между наложениями составляют 12/11 часа. Это эквивалентно 1 часу 5 минутам 27 и 3/11 секундам. Поэтому за каждый 12-часовой цикл наложения происходят в периоды, указанные на картинке.

Answer 2

Для того чтобы найти все возможные моменты совпадения всех трех стрелок на часах с учетом измененной скорости секундной стрелки, мы можем воспользоваться аналогией с конечным автоматом. Рассмотрим следующий подход:

1. Секундная стрелка имеет 19 делений на циферблате, так как сутки длятся 19 часов. За каждый час она делает полный оборот, то есть делает 19 шагов.
2. Минутная стрелка делает полный оборот за 19 часов, так как сутки длятся 19 часов. Это также означает, что она делает 19 шагов за сутки.
3. Часовая стрелка также делает полный оборот за 19 часов и делает 19 шагов за сутки.

Теперь рассмотрим различные варианты, как скорость секундной стрелки может измениться:

1. Если скорость секундной стрелки уменьшилась (вращается медленнее), то это означает, что она делает меньше чем 19 шагов за сутки. Пусть она делает m шагов за сутки, где m меньше 19. Тогда минутная стрелка делает также m шагов за сутки, и часовая стрелка делает m шагов за сутки.

2. Если скорость секундной стрелки увеличилась (вращается быстрее), то это означает, что она делает больше чем 19 шагов за сутки. Пусть она делает n шагов за сутки, где n больше 19. Тогда минутная стрелка делает также n шагов за сутки, и часовая стрелка делает n шагов за сутки.

Мы ищем моменты, когда все три стрелки совпадают. Это происходит, когда их положения совпадают в какой-то момент времени. Поскольку все стрелки начинают совмещаться в начале суток, то нас интересует, сколько раз они могут снова совпасть до конца суток.

Итак, нам нужно найти все пары (m, n), где m < 19 и n > 19. Для этого можно перебрать все значения m от 1 до 18 и соответствующие значения n, начиная с 20 и далее.

Примеры пар (m, n), когда все стрелки совпадают:

• (1, 20): Секундная стрелка делает 1 шаг, минутная и часовая стрелки делают 20 шагов.
• (2, 21): Секундная стрелка делает 2 шага, минутная и часовая стрелки делают 21 шаг.
• ...

Таким образом, существует бесконечное количество моментов, когда все три стрелки могут совпасть в течение суток при измененной скорости секундной стрелки.