Question

При каких значениях параметра a уравнение sin(x)=a^2-2a имеет решение?

Answer 1

Iа²-2аI≤1

-1≤а²-2а≤1

Решим систему

-1≤а²-2а

а²-2а≤1

решением первого неравенства 0≤а²-2а+1, или (а-1)²≥0 является любое действительное число.

решением второго а²-2а≤1, или а²-2а-1≤0 , является решение, полученное методом интервалов. Разложим на  линейные множители а²-2а-1=0, а=1±√2

____1-_√2___________1+√2_______

+                            -                      =

решение [1-√2; 1+√2]

Пересечением решений первого и второго уравнений служат все а, удовлетворяющие условию а∈[1-√2; 1+√2]

Answer 2

Ответ:

a принадлежит отрезку [ 1-sqrt(2)  , 1+sqrt(2) ]  

Пошаговое объяснение: Уравнение имеет по ккрайней мере одно решение, если правая часть по модулю меньше либо равна 1.

-1=<a^2-2a=<1  равносильно 0=<a^2-2a+1=<2  или 0=<(а-1)^2=<2

(а-1)^2 всегда больше либо равно 0. (а-1)^2=<2 равносильно

-sqrt(2)=<a-1=<sqrt(2 )  или  1-sqrt(2)=<а=<1+sqrt(2)

Answer 3

Давайте рассмотрим уравнение sin(x) = a^2 - 2a.

Для того чтобы это уравнение имело решение, значение a^2 - 2a должно быть в диапазоне от -1 до 1, так как синус функции ограничен этими значениями.

Математически это можно записать как -1 ≤ a^2 - 2a ≤ 1.

Для нахождения допустимых значений параметра "a" решим неравенство:

a^2 - 2a - 1 ≤ 0

Для этого факторизуем неравенство:

(a - 1)^2 - 2 ≤ 0

Теперь решим квадратное уравнение (a - 1)^2 - 2 = 0:

(a - 1)^2 = 2

a - 1 = ±√2

a = 1 ± √2

Таким образом, уравнение sin(x) = a^2 - 2a имеет решение, когда параметр "a" принимает значения a = 1 + √2 и a = 1 - √2.