Question

100 баллов Сколько существует четырёхзначных натуральных чисел, каждое из которых нечётно, кратно трём, содержит в своей десятичной записи ровно две различные цифры и не содержит трёх одинаковых цифр?

Answer 1

Ответ:

последняя цифра нечетная

таких цифр всего 5:

1 3 5 7 9

число кратно трем,

у каждой из цифр есть цифры, с которыми сумма кратна трем

1 - 2,5,8

3-0,3,6,9

5-1,4,7

7-2,5,8

9-0,3,6,9

Пошаговое объяснение:

если число оканчивается на 1 5 7 то таких чисел всего 3*3*3=27

перечислим для примера 9 чисел которые оканчиваются на 1

2211 2121 1221

5511 5151 1551

8811 8181 1881

если число оканчивается на 3 9, то нужно исключить 3 и 9 из списка вторых цифр

тогда получается если число оканчивается на 3 9 то таких чисел всего 2*(2*3+1)=14

перечислим для примера все 9 чисел которые оканчиваются на 3

0033 0303 3003

6633 6363 3663

9933 9393 3993

из этого списка исключим трех и двухзначные

перечислим для примера 7 чисел которые оканчиваются на 3 и подходят по условию

                  3003

6633 6363 3663

9933 9393 3993

ответ 3*3*3+2*(2*3+1)=27+14=41

Answer 2

Чтобы найти количество таких четырёхзначных чисел, мы можем разбить задачу на несколько шагов:

Шаг 1: Нечетные числа, кратные трём Чтобы число было нечётным и кратным трём, оно должно оканчиваться на 3 или 9 (поскольку тройка делится на 3). Это означает, что у нас есть 4 варианта для последней цифры: 3, 5, 7 и 9.

Шаг 2: Числа, содержащие ровно две различные цифры В данном случае, мы имеем следующие варианты для различных цифр: {0, 1}, {0, 2}, ..., {8, 9}. Это всего 9 различных пар цифр.

Шаг 3: Числа, не содержащие трёх одинаковых цифр Здесь мы можем воспользоваться принципом упорядоченных размещений. Например, для первой позиции у нас есть 4 варианта (3, 5, 7, 9), для второй позиции 9 вариантов (любая из оставшихся цифр, кроме уже выбранной), для третьей позиции также 9 вариантов (осталось 9 различных цифр), и для четвёртой позиции 8 вариантов (мы не можем использовать ту цифру, которую уже выбрали на предыдущих позициях).

Итак, общее количество четырёхзначных чисел, удовлетворяющих заданным условиям, будет равно:

4 (варианта для последней цифры) * 9 (вариантов для пары различных цифр) * 4 * 9 * 9 * 8 = 4 * 9^3 * 8 = 2592.

Итак, существует 2592 четырёхзначных натуральных чисел, каждое из которых нечётно, кратно трём, содержит ровно две различные цифры и не содержит трёх одинаковых цифр.