Question

Знайдіть усі значення a, при яких рівняння |1 - (x - 1)2 | = a має три корені. У відповідь запишіть найбільше значення a.

Answer 1

Ответ: 1

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для того щоб рівняння |1 - (x - 1)^2| = a мало три корені, потрібно, щоб графік функції |1 - (x - 1)^2| перетинал пряму y = a три рази.

Зауважимо, що функція |1 - (x - 1)^2| є параболою, яка відкрита верхівкою вниз і симетрична відносно вісі y = 1.

1. Відкриємо модуль: 1 - (x - 1)^2 = a або 1 - (x - 1)^2 = -a.

2. Перепишемо рівняння: (x - 1)^2 = 1 - a або (x - 1)^2 = 1 + a.

3. Розв'яжемо кожне рівняння окремо:

   a) (x - 1)^2 = 1 - a x - 1 = ±√(1 - a) x = 1 ± √(1 - a)

   б) (x - 1)^2 = 1 + a x - 1 = ±√(1 + a) x = 1 ± √(1 + a)

Отже, рівняння матиме три корені, коли обидва рівняння (а) і (б) матимуть по два корені, тобто кожне з них повинно мати один додатній і один від'ємний корінь.

Це можливо, якщо √(1 - a) і √(1 + a) є додатніми числами і задовольняють нерівності: 1 - a > 0 => a < 1 1 + a > 0 => a > -1

Отже, діапазон можливих значень a: -1 < a < 1.

Найбільше значення a в цьому діапазоні буде 1.

Отже, найбільше значення a, при якому рівняння має три корені, дорівнює 1.