Question

Помогите найти частное решение ДУ первого порядка xdy-yln(y/x)dx=0 y(1)=e

Answer 1

$ln(\frac{y}{x})-1=Cx\\\\y(1)=e\,\,\, \Rightarrow\\ \\ln(e)-1=C\, \Rightarrow\\ \\C = 0$

Ответ: $ln\frac{y}{x}-1=0$

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение первого порядка:

xdy - yln(y/x)dx = 0.

Мы хотим найти его частное решение при начальном условии y(1) = e.

Для решения этого уравнения можно воспользоваться методом разделяющихся переменных. Перепишем уравнение в следующем виде:

xdy = yln(y/x)dx.

Теперь разделим переменные, переместив все содержащее y на одну сторону уравнения, а все содержащее x на другую сторону:

dy/y = ln(y/x)dx/x.

Затем возьмем интеграл от обеих частей уравнения:

∫(dy/y) = ∫(ln(y/x)dx/x).

Интеграл от левой части:

∫(dy/y) = ln|y| + C1,

где C1 - постоянная интегрирования.

Интеграл от правой части:

∫(ln(y/x)dx/x) = ∫ln(y/x)(1/x)dx.

Для интегрирования этой функции можно воспользоваться заменой переменных, где u = ln(y/x), тогда du = (1/x)dx:

∫u du = (u^2)/2 + C2,

где C2 - другая постоянная интегрирования.

Теперь подставим обратные замены:

ln|y| + C1 = (ln(y/x)^2)/2 + C2.

Можем объединить постоянные интегрирования:

ln|y| = (ln(y/x)^2)/2 + C.

где C = C2 - C1.

Теперь возведем обе стороны уравнения в экспоненту:

|y| = e^((ln(y/x)^2)/2 + C) = e^C * e^((ln(y/x)^2)/2).

Так как e^C - это просто некоторая константа, обозначим ее за K:

|y| = K * e^((ln(y/x)^2)/2).

Теперь избавимся от модуля:

y = ± K * e^((ln(y/x)^2)/2).

Заметим, что если y = 0, то левая часть уравнения равна 0, и это также удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению.

Подставим начальное условие y(1) = e:

e = ± K * e^((ln(e/1)^2)/2),

e = ± K * e^(0/2),

e = ± K * e^0,

e = ± K.

Теперь найдем значение K:

K = e.

Таким образом, частное решение уравнения будет:

y = ± e * e^((ln(y/x)^2)/2).

Так как знак "±" подразумевает два решения, решениями будут:

1. y = e * e^((ln(y/x)^2)/2),
2. y = -e * e^((ln(y/x)^2)/2).