Question

Найти частное решение уравнения yln(y)+xy'=0 при y(1)=e

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

уже такое я решала. но искать лень. решу еще раз

yln(y)+xy'=0

y*lny = -x*y'

$\displaystyle \frac{y'}{y*lny} =-\frac{1}{x}$

$\displaystyle \int {\frac{dy/dx}{y*lny} } \, dx =-\int {\frac{1}{x} } \, dx$

$\displaystyle ln(lny))=-ln(x)+C$

$\displaystyle y=e^{e^{C/x}}$

переопрелелим переменные

$\displaystyle y= e^{C_1/x}$

y(1) = e    ⇒   C₁ = 1

$\displaystyle y=e^{1/x}$

ответ

$\displaystyle y= \sqrt[\displaystyle x]{e}$

Answer 2

Для нахождения частного решения уравнения $y\ln(y) + xy' = 0$ при начальном условии $y(1) = e$, можно воспользоваться методом разделения переменных.

Давайте сначала преобразуем уравнение:

$y\ln(y) + xy' = 0$

Получаем $\ln(y)dy + xy'dx = 0$.

Теперь разделим переменные, переместив члены с $y$ в левую сторону и члены с $x$ в правую сторону:

$\ln(y)dy = -xy'dx$

Далее, интегрируем обе стороны. Для левой стороны используем интеграл от $\ln(y)$, а для правой стороны - интеграл от $-xdx$:

$\int \ln(y) dy = -\int x dx$

Интеграл $\int \ln(y) dy$ можно решить по частям. Пусть $u = \ln(y)$ и $dv = dy$, тогда $du = \frac{1}{y}dy$ и $v = y$. Интегрирование по частям дает:

$\int \ln(y) dy = y \ln(y) - \int y \cdot \frac{1}{y} dy$

Упрощая, получаем:

$\int \ln(y) dy = y \ln(y) - \int dy$

$\int \ln(y) dy = y \ln(y) - y + C_1$

Теперь интегрируем правую сторону:

$-\int x dx = -\frac{1}{2}x^2 + C_2$

Теперь мы имеем:

$y \ln(y) - y + C_1 = -\frac{1}{2}x^2 + C_2$

Мы можем объединить константы $C_1$ и $C_2$ в одну константу $C$:

$y \ln(y) - y = -\frac{1}{2}x^2 + C$

Теперь используем начальное условие $y(1) = e$. Подставим $x = 1$ и $y = e$ в уравнение:

$e \ln(e) - e = -\frac{1}{2} \cdot 1^2 + C$

$1 - e = -\frac{1}{2} + C$

$C = \frac{1}{2} + e - 1$

$C = \frac{1}{2} - e$

Таким образом, частное решение уравнения $y\ln(y) + xy' = 0$ с начальным условием $y(1) = e$ имеет вид:

$y \ln(y) - y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} - e$