Question

Интеграл (4-х) sin5x dx Помогите пожалуйста найти

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Метод интегрирования по частям

Answer 2

Чтобы найти интеграл ∫(4-х)sin^5(x)dx, можно воспользоваться методом интегрирования по частям и формулой понижения степени для синуса.

Давайте приступим к решению:

∫(4-х)sin^5(x)dx

Используем формулу понижения степени для синуса: sin^5(x) = (sin^2(x))^2 * sin(x) = (1 - cos^2(x))^2 * sin(x)

Теперь заменим (4-х) на 4 - x:

∫(4-х)(1 - cos^2(x))^2 * sin(x) dx

Раскроем квадрат (1 - cos^2(x))^2:

∫(4-х)(1 - 2cos^2(x) + cos^4(x)) * sin(x) dx

Раскроем скобки:

∫(4-х)(sin(x) - 2sin(x)cos^2(x) + sin(x)cos^4(x)) dx

Теперь произведем интегрирование по частям, введя u и dv:

u = 4 - x => du = -dx dv = (sin(x) - 2sin(x)cos^2(x) + sin(x)cos^4(x)) dx

Проведем дифференцирование и подстановку:

du = -dx => dx = -du v = ∫(sin(x) - 2sin(x)cos^2(x) + sin(x)cos^4(x)) dx

Теперь рассчитаем v:

v = ∫(sin(x) - 2sin(x)cos^2(x) + sin(x)cos^4(x)) dx

v = ∫sin(x) dx - 2∫sin(x)cos^2(x) dx + ∫sin(x)cos^4(x) dx

v = -cos(x) + 2∫sin(x)cos^2(x) dx - ∫sin(x)(1 - sin^2(x))^2 dx

Для интегрирования последнего члена ∫sin(x)(1 - sin^2(x))^2 dx можно воспользоваться заменой. Пусть u = sin(x), тогда du = cos(x) dx. Заменим и вычислим:

v = -cos(x) + 2∫sin(x)cos^2(x) dx - ∫u(1 - u^2)^2 du

v = -cos(x) + 2∫sin(x)cos^2(x) dx - ∫(u - u^3 + u^5) du

v = -cos(x) + 2∫sin(x)cos^2(x) dx - (u^2/2 - u^4/4 + u^6/6) + C

Теперь мы можем выразить исходный интеграл через u и v:

∫(4-х)(1 - cos^2(x))^2 * sin(x) dx = (4 - x)(-cos(x) + 2∫sin(x)cos^2(x) dx - (u^2/2 - u^4/4 + u^6/6)) + C

После этого остается только подставить обратные замены и упростить выражение.

Обратите внимание, что в результате интегрирования по частям могут появиться дополнительные слагаемые, включающие константу C.