Question

1.Продифференцировать: In(3x^2+5) -5x (3x^2+2x+1) /(2x-3)^3 2. Найти наименьшую и наибольшую значение функции y=f(x) в точке с абсциссой x0 f(x) =x^2-6x+8 (1;4)

Answer 1

$1)\; \; y=ln(3x^2+5)-5x\; \; ,\; \; \; y'=\dfrac{6x}{3x^2+5}-5\\\\\\2)\; \; y=\dfrac{3x^2+2x+1}{(2x-3)^3}\\\\y'=\dfrac{(6x+2)(2x-3)^3-(3x^2+2x+1)\cdot 3(2x-3)^2\cdot 2}{(2x-3)^6}=\\\\\\=\dfrac{(2x-3)^2\cdot \Big((6x+2)(2x-3)-6(3x^2+2x+1)\Big)}{(2x-3)^6}=\\\\\\=\dfrac{-6x^2-24x-6-18x^2-12x-6}{(2x-3)^4}=-\dfrac{2\, (3x^2+10x+6)}{(2x-3)^4}$

$3)\; \; y=x^2-6x+8\; \; ,\; \; x\in [\; 1\; ;\; 4\; ]\\\\y'=2x-6=2(x-3)=0\; \; \; \to \; \; \; x=3\in [\; 1\; ;\; 4\; ]\\\\y(1)=1-6+8=3\\\\y(3)=9-18+8=-1\\\\y(4)=16-24+8=0\\\\y_{naibol.}=y(1)=3\; \; ,\; \; \; y_{naimen.}=y(3)=-1$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из ваших вопросов:

1. Продифференцируем выражение: Для удобства, разобьем исходное выражение на две части: a = In(3x^2+5) b = -5x(3x^2+2x+1)/(2x-3)^3

Теперь продифференцируем каждую из частей по отдельности.

а) Производная функции a: Для нахождения производной натурального логарифма от функции используем формулу дифференцирования сложной функции: d/dx(In(u)) = (1/u) * du/dx

Таким образом, для a = In(3x^2+5), производная будет: da/dx = (1/(3x^2+5)) * d(3x^2+5)/dx = (1/(3x^2+5)) * 6x = 6x/(3x^2+5)

б) Производная функции b: Для нахождения производной сложной функции вида (uv)^n, где u и v - функции от x, используется формула дифференцирования сложной функции: d/dx((uv)^n) = n(uv)^(n-1) * (du/dx * v + u * dv/dx)

В данном случае: u = -5x, v = (3x^2+2x+1)/(2x-3) n = -3

Таким образом, для b = -5x(3x^2+2x+1)/(2x-3)^3, производная будет: db/dx = -3 * ((-5x) * ((3x^2+2x+1)/(2x-3))^(-4)) * (-5 + (3x^2+2x+1)/(2x-3)) = 3 * (5x/(3x^2+2x+1)(2x-3))^4 * (5 - (3x^2+2x+1)/(2x-3))

Теперь найдем производную функции y по x: y = a + b dy/dx = da/dx + db/dx dy/dx = 6x/(3x^2+5) + 3 * (5x/(3x^2+2x+1)(2x-3))^4 * (5 - (3x^2+2x+1)/(2x-3))

2. Найти наименьшую и наибольшую значение функции y = f(x) в точке с абсциссой x0 = 1 для f(x) = x^2-6x+8:

Чтобы найти наименьшее или наибольшее значение функции, нужно найти экстремумы функции, а именно, стационарные точки (точки, где производная равна нулю) и точки, где функция не определена.

Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx(x^2-6x+8) = 2x - 6

Теперь найдем стационарную точку, где производная равна нулю: 2x - 6 = 0 2x = 6 x = 3

Теперь проверим вторую производную для точки x = 3, чтобы определить, является ли она точкой минимума или максимума.

f''(x) = d/dx(2x - 6) = 2

Поскольку вторая производная положительна (f''(3) = 2), точка x = 3 является точкой минимума функции.

Теперь рассмотрим значения функции в точках x = 1 и x = 4: f(1) = 1^2 - 61 + 8 = 1 - 6 + 8 = 3 f(4) = 4^2 - 64 + 8 = 16 - 24 + 8 = 0

Таким образом, наименьшее значение функции y = f(x) равно 0 и достигается в точке x = 4, а наибольшее значение функции равно 3 и достигается в точке x = 1.