Question

найти интеграл (1/x)*√((x-1)/(x+1))dx (замена t=√((x-1)/(x+1)), t^2*(x+1)=x-1, x= -(t^2+1)/(t^2-1), dx=(-(t^2+1)/(t^2-1))dt).​

Answer 1

$\displaystyle\int\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx=-\int\frac{t^2-1}{t^2+1}*t*\frac{4tdt}{(t^2-1)^2}=\\=-4\int\frac{t^2}{(t^2+1)(t^2-1)}dt=-4\int(\frac{1}{2(t^2+1)}+\frac{1}{4(t-1)}-\frac{1}{4(t+1)})dt=\\=-2arctgt-ln|t-1|+ln|t+1|+C=\\=-2arctgt+ln|\frac{t+1}{t-1}|+C=-2arctg\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+ln|\frac{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}-1}|+C$

$\displaystyle t=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\to t^2=\frac{x-1}{x+1}\\(x+1)t^2=x-1\to t^2x+t^2=x-1\\x(t^2-1)=-(t^2+1)\to x=-\frac{t^2+1}{t^2-1}\to dx=\frac{4tdt}{(t^2-1)^2}\\\\\\\frac{t^2}{(t^2+1)(t^2-1)}=\frac{At+B}{t^2+1}+\frac{C}{t-1}+\frac{D}{t+1}=\\=\frac{1}{2(t^2+1)}+\frac{1}{4(t-1)}-\frac{1}{4(t+1)}\\\\\\t^2=A(t^3-t)+B(t^2-1)+C(t^3+t^2+t+1)+D(t^3-t^2+t-1)\\t^3|0=A+C+D\\t^2|1=B+C-D\\t|0=-A+C+D\\t^0|0=-B+C-D\\A=0;B=\frac{1}{2};C=\frac{1}{4};D=-\frac{1}{4}$

Answer 2

Давайте рассмотрим шаги для вычисления данного интеграла с помощью данной замены переменных:

Исходный интеграл: ∫ ((1/x) * √((x-1)/(x+1))) dx

Замена переменных: Пусть t = √((x-1)/(x+1)) Тогда t^2 * (x+1) = x-1 x = -(t^2+1)/(t^2-1) dx = (-(t^2+1)/(t^2-1)) dt

Подставляем x и dx из замены в исходный интеграл: ∫ ((1/(-(t^2+1)/(t^2-1))) * √((-(t^2+1)/(t^2-1))-1)/(-(t^2+1)/(t^2-1))+1)) * (-(t^2+1)/(t^2-1))) dt

Упрощаем выражение: ∫ ((t^2-1)/(t^2+1)) * √((t^2-1)/(t^2+1))) dt

Заметим, что (t^2-1)/(t^2+1) = cosh(θ), где θ - гиперболический аргумент.

Итак, интеграл сводится к: ∫ cosh(θ) * sinh(θ) dθ

Теперь интегрируем это выражение: ∫ (1/2) sinh(2θ) dθ

Так как sinh(2θ) = 2 sinh(θ) cosh(θ), то (1/2) ∫ 2 sinh(θ) cosh(θ) dθ = ∫ sinh(θ) cosh(θ) dθ

Следуя определению гиперболических функций, мы знаем, что sinh(θ) cosh(θ) = (1/2) sinh(2θ). Таким образом, интеграл становится: (1/2) ∫ (1/2) sinh(2θ) dθ = (1/4) sinh(2θ) + C

Используя обратную замену t = √((x-1)/(x+1)), мы получаем: (1/4) sinh(2θ) = (1/4) sinh(2 * sinh^(-1)(t)) = (1/4) sinh(sinh^(-1)(2t/(1+t^2))) = (1/4) * (2t/(1+t^2)) = t/(2(1+t^2))

Таким образом, окончательный интеграл равен: t/(2(1+t^2)) + C

Возвращаясь к исходной переменной x, мы получаем: √((x-1)/(x+1))/(2(1+((x-1)/(x+1))^2)) + C

Это и есть окончательный ответ.