Question

Олимпиадная задача: (n+1)^n-n^n+1=1 , n- натуральное число. Найти n.

Answer 1

Ответ: Ответ :  n1=1  ;  n2=2

Пошаговое объяснение:

Поделим обе части уравнения на n^n

((n+1)/n)^n -n = 1/(n^n)

(1+1/n)^n = 1/(n^n) +n

Поскольку n- натуральное число :

(1+1/n)^n < e <3  - второй замечательный предел

Но  тогда :

1/(n^n) +n < 3

Поскольку:  0<1/(n^n) <= 1  , то  для n   возможно два варианта :

n=1  или  n=2

Проверим n=2

3^2 -2^3 = 9-8=1 - верно

Проверим n=1

2^1 -1^2 = 2-1=1 - верно

Ответ :  n1=1  ;  n2=2

Answer 2

Для решения данной олимпиадной задачи, мы можем следовать следующим шагам:

1. Разложить левую часть уравнения на бином Ньютона.
2. Упростить выражение, отбросив одинаковые слагаемые.
3. Привести уравнение к виду, где одна сторона равна нулю.
4. Решить полученное уравнение для значения n.

Давайте начнем:

1. Разложим (n+1)^n с помощью бинома Ньютона: (n+1)^n = C(n, 0)*n^n + C(n, 1)*n^(n-1) + C(n, 2)*n^(n-2) + ... + C(n, n-1)*n + C(n, n)

где C(n, k) - биномиальный коэффициент.

Таким образом, (n+1)^n - n^n + 1 будет равно: (n+1)^n - n^n + 1 = C(n, 0)*n^n + C(n, 1)*n^(n-1) + C(n, 2)*n^(n-2) + ... + C(n, n-1)*n + C(n, n) - n^n + 1

2. Упростим выражение, отбросив одинаковые слагаемые: (n+1)^n - n^n + 1 = C(n, 0)*n^n + C(n, 1)*n^(n-1) + C(n, 2)*n^(n-2) + ... + C(n, n-1)*n + C(n, n) - n^n + 1 (n+1)^n - n^n + 1 = C(n, 0)*n^n + C(n, 1)*n^(n-1) + C(n, 2)*n^(n-2) + ... + C(n, n-1)*n + C(n, n) - C(n, n)*n^n + 1 (n+1)^n - n^n + 1 = C(n, 0)*n^n + C(n, 1)*n^(n-1) + C(n, 2)*n^(n-2) + ... + C(n, n-1)*n + 1

3. Приведем уравнение к виду, где одна сторона равна нулю: (n+1)^n - n^n + 1 - 1 = C(n, 0)*n^n + C(n, 1)*n^(n-1) + C(n, 2)*n^(n-2) + ... + C(n, n-1)*n (n+1)^n - n^n = C(n, 0)*n^n + C(n, 1)*n^(n-1) + C(n, 2)*n^(n-2) + ... + C(n, n-1)*n

4. Теперь решим уравнение для значения n. Нам нужно найти натуральное число n, для которого выполняется равенство.

К сожалению, на данном этапе мы не можем привести уравнение к более простой форме, чтобы явно найти значение n. Если это является заданием олимпиады или тестом, возможно, там указано, что такое n не существует, и это может быть утверждено аналитически или известными свойствами биномиальных коэффициентов.

Иначе можно попробовать решить уравнение численно, используя методы численного анализа, такие как метод Ньютона или метод половинного деления.