Question

Найдите наименьшее значение функции f(x)=x(2x-3)^6 на отрезке [1;2]

Answer 1

ответ: наименьшее значение функции (1:1)

Answer 2

Решение смотрите во вложении

Answer 3

Чтобы найти наименьшее значение функции $f(x) = x(2x - 3)^6$ на отрезке [1;2], необходимо следовать следующим шагам:

1. Найдите критические точки функции внутри интервала [1;2].
2. Вычислите значения функции в этих критических точках, а также на концах интервала.
3. Найдите наименьшее из всех полученных значений.

Шаг 1: Найдем критические точки.

Критические точки это те точки, где производная функции равна нулю или не существует.

$f(x) = x(2x - 3)^6$

Для нахождения производной используем правило производной произведения функций:

$f'(x) = (2x - 3)^6 + 6x(2x - 3)^5$

Теперь найдем точки, где $f'(x) = 0$:

$0 = (2x - 3)^6 + 6x(2x - 3)^5$

$0 = (2x - 3)^5[(2x - 3) + 6x]$

Таким образом, либо $(2x - 3)^5 = 0$ (что не имеет решения внутри интервала [1;2]), либо $(2x - 3) + 6x = 0$:

$8x - 3 = 0$

$8x = 3$

$x = \frac{3}{8}$

Шаг 2: Вычислим значения функции в найденных точках, а также на концах интервала [1;2]:

Для $x = 1$:

$f(1) = 1(2\cdot1 - 3)^6 = (-1)^6 = 1$

Для $x = \frac{3}{8}$:

$f\left(\frac{3}{8}\right) = \frac{3}{8}\left(2\cdot\frac{3}{8} - 3\right)^6 = \frac{3}{8}\left(\frac{3}{4} - 3\right)^6 = \frac{3}{8}\left(-\frac{9}{4}\right)^6 = \frac{3}{8}\cdot\frac{531441}{4096} \approx 115.978$

Для $x = 2$:

$f(2) = 2(2\cdot2 - 3)^6 = 2\cdot1^6 = 2$

Шаг 3: Найдем наименьшее из всех значений:

Наименьшее значение функции $f(x) = x(2x - 3)^6$ на интервале [1;2] - это $f\left(\frac{3}{8}\right) \approx 115.978$.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [1;2] равно приблизительно 115.978.