Question

Y=ln(x)/x Нужно найти: критические точки, промежутки монотонности, точки экстремумов

Answer 1

$></p> <p>Критические точки (без учёта ОДЗ):</p> <p><img src=$

Область допустимых значений:

$x>0$

С помощью метода интервалов определяем, что:

функция возрастает на промежутке $(0;e)$;

функция убывает на промежутке $(e;+\infty)$.

Точки экстремумов:

$x=e$ - точка максимума функции:

минимумов не существует.

Answer 2

Для найти критические точки, промежутки монотонности и точки экстремумов функции Y = ln(x)/x, нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдем производную функции Y по переменной x. Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение. Шаг 3: Исследуем знак производной на промежутках между критическими точками и на бесконечностях, чтобы определить промежутки монотонности. Шаг 4: Найдем вторую производную и используем ее для определения типа точек экстремумов.

Шаг 1: Найдем производную функции Y по переменной x: Y = ln(x)/x Y' = (1/x) * d/dx(ln(x))

Здесь d/dx(ln(x)) - производная натурального логарифма от x, которая равна 1/x. Таким образом, Y' = (1/x) * 1/x = 1/x^2.

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: 1/x^2 = 0

Очевидно, что это уравнение не имеет действительных корней, так как 1/x^2 всегда положительно, за исключением случая, когда x равен 0, но x = 0 не входит в область определения функции.

Шаг 3: Исследуем знак производной на промежутках между критическими точками и на бесконечностях.

1. Промежуток (-∞, 0): Выбираем произвольную точку, например, x = -1. В этом интервале 1/x^2 положительно (1/(-1)^2 = 1), значит, функция возрастает на этом промежутке.

2. Промежуток (0, +∞): Выбираем произвольную точку, например, x = 1. В этом интервале 1/x^2 также положительно (1/1^2 = 1), значит, функция возрастает на этом промежутке.

Шаг 4: Найдем вторую производную и используем ее для определения типа точек экстремумов.

Y'' = d/dx(1/x^2) = d/dx(x^(-2)) = -2x^(-3) = -2/x^3

Так как Y''(x) = -2/x^3 всегда отрицательно для всех значений x, кроме x = 0 (критической точки, которая не входит в область определения функции), то у функции нет точек экстремумов.

Таким образом, итоговые результаты:

1. Критические точки: нет (функция не определена при x = 0).
2. Промежутки монотонности: Функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (0, +∞).
3. Точки экстремумов: нет.

Пожалуйста, обратите внимание, что эти результаты верны для функции Y = ln(x)/x, определенной на интервале (0, +∞).