Question

Диагонали параллелограмма АВСД пересекаются в начале координат А(-2;2;1), В(3;4;2). Вычисли координаты других вершин. Является ли этот параллелограмм прямоугольником

Answer 1

Ответ:

Если диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в начале координат, то координаты других вершин параллелограмма имеют обратные знаки.

A(-2;2;-1)⇒ С(2;-2;1) 

B(3;4;2) ⇒ Д(-3;-4;-2)

Этот параллелограмм  не является  прямоугольником.

Угол АВ_ВС:

Скалярное произведение а*в = -20,

Модуль а*в = 38,

cos <(a_b) = -0,5263,

<(a_b) = 2,125058161 радиан = 121,757 градуса.

Answer 2

Чтобы вычислить координаты остальных вершин параллелограмма АВСД, можно воспользоваться свойствами параллелограмма. Одно из таких свойств заключается в том, что диагонали параллелограмма делят его на две равные части, и точка пересечения диагоналей является их средней точкой.

1. Найдем координаты точки С, используя среднюю точку между точками А и В: Координаты точки С = ((координата_x_А + координата_x_В) / 2, (координата_y_А + координата_y_В) / 2, (координата_z_А + координата_z_В) / 2) Координаты точки С = ((-2 + 3) / 2, (2 + 4) / 2, (1 + 2) / 2) = (1/2, 3, 3/2)

2. Зная координаты точек А и С, мы можем найти координаты точки D, используя свойство параллелограмма, что векторы AD и BC равны: Координаты точки D = (координата_x_С + координата_x_В - координата_x_А, координата_y_С + координата_y_В - координата_y_А, координата_z_С + координата_z_В - координата_z_А) Координаты точки D = (1/2 + 3 - (-2), 3 + 4 - 2, 3/2 + 2 - 1) = (9/2, 5, 3/2)

Таким образом, координаты остальных вершин параллелограмма АВСД равны: C(1/2, 3, 3/2) и D(9/2, 5, 3/2).

Чтобы узнать, является ли этот параллелограмм прямоугольником, нужно проверить, являются ли его стороны взаимно перпендикулярными. Если векторы сторон параллелограмма взаимно перпендикулярны, то он является прямоугольником.

Поскольку у нас уже есть координаты вершин, мы можем найти векторы сторон и проверить их взаимную перпендикулярность:

1. Вектор AB = (координата_x_В - координата_x_А, координата_y_В - координата_y_А, координата_z_В - координата_z_А) = (3 - (-2), 4 - 2, 2 - 1) = (5, 2, 1)
2. Вектор AD = (координата_x_D - координата_x_А, координата_y_D - координата_y_А, координата_z_D - координата_z_А) = (9/2 - (-2), 5 - 2, 3/2 - 1) = (13/2, 3, 1/2)

Теперь проверим их взаимную перпендикулярность, вычислив их скалярное произведение:

AB * AD = (5 * 13/2) + (2 * 3) + (1 * 1/2) = 65/2 + 6 + 1/2 = 37

Если AB * AD = 0, то векторы AB и AD перпендикулярны. В данном случае, 37 ≠ 0, следовательно, стороны AB и AD не являются перпендикулярными, и параллелограмм АВСД не является прямоугольником.