Question

Пусть система обслуживания состоит из одной линии связи. Состояние системы описывается количеством занятых линий: 0 или 1. За одну единицу времени (шаг) с вероятностью p в систему может поступить не более одной заявки на обслуживание. Если в этот момент времени линия занята, заявка получает отказ. Если линия свободна, то заявка поступает на, и вероятность того, что заявка будет обслужена за один шаг составляет p2 и не зависит от того, как долго заявка уже обслуживается. Найти вероятности перехода из одного состояния в другое за один шаг, за два шага, за три шага. Найти вероятность того, что через 3 шага линия будет свободна, если в начальный момент времени a) линия была свободна; b) все состояния системы равновероятны.

Answer 1

Ответ:

⠀

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей. Для начала опишем систему в терминах марковского процесса, где состояния системы - это количество занятых линий (0 или 1). Пусть P(i, j) обозначает вероятность перехода из состояния i в состояние j за один шаг.

1. Вероятности перехода за один шаг:

• P(0, 0): Если система свободна (0 занятых линий), то вероятность остаться в этом состоянии равна вероятности того, что в систему не поступит заявка, то есть (1 - p).
• P(0, 1): Если система свободна и в систему поступит заявка (с вероятностью p), то вероятность перейти в состояние с занятой линией равна вероятности успешного обслуживания заявки, то есть p * p^2 = p^3.
• P(1, 0): Если система занята и в текущем шаге заявка будет обслужена (с вероятностью p^2), то вероятность освободить линию в следующем шаге равна p.
• P(1, 1): Если система занята и в текущем шаге заявка не будет обслужена (с вероятностью 1 - p^2), то вероятность остаться в этом состоянии равна 1 - p^2.

2. Вероятности перехода за два шага:

Для нахождения вероятностей переходов за два шага, нужно возвести матрицу переходов в квадрат:

cssCopy code
P^2 = | P(0, 0)^2  P(0, 1) * P(1, 0) |
      | P(1, 0) * P(0, 1)  P(1, 1)^2 |

3. Вероятности перехода за три шага:

Аналогично, для нахождения вероятностей переходов за три шага, нужно умножить матрицу переходов на саму себя:

cssCopy code
P^3 = P^2 * P

4. Вероятность того, что через 3 шага линия будет свободна:

a) Если линия была свободна в начальный момент времени, то вероятность состояния 0 через 3 шага можно найти как элемент P^3 в строке 0, столбце 0.

b) Если все состояния системы равновероятны, то вероятность состояния 0 через 3 шага можно найти как среднее вероятностей P^3 в строке 0 (так как начальные состояния равновероятны).

Подставляя значения вероятностей из первой части, вычислите значения P^3 и вероятности состояния 0 через 3 шага для обоих случаев.