Question

Интеграл от 0 до π (1-cosx)^2

Answer 1

Ответ:

3П\2

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения данного интеграла, вам следует выполнить несколько шагов:

1. Раскройте квадрат выражения (1 - cos(x))^2, используя формулу квадрата разности: (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.

2. Выполните интегрирование каждого члена полученного выражения по переменной x.

Давайте проделаем эти шаги подробнее:

1. Раскрываем квадрат:

(1 - cos(x))^2 = 1 - 2cos(x) + cos^2(x)

2. Теперь интегрируем каждый член:

∫[0, π] (1 - cos(x))^2 dx = ∫[0, π] (1 - 2cos(x) + cos^2(x)) dx

Интеграл ∫(1 - 2cos(x) + cos^2(x)) dx разобьем на сумму интегралов каждого члена:

∫(1 - 2cos(x) + cos^2(x)) dx = ∫(1 dx) - ∫(2cos(x) dx) + ∫(cos^2(x) dx)

Интеграл ∫(1 dx) просто равен x:

∫(1 dx) = x + C₁

Интеграл ∫(2cos(x) dx) можно решить, используя замену u = sin(x):

∫(2cos(x) dx) = ∫(2 du)

Интеграл ∫(2 du) просто равен 2u:

∫(2cos(x) dx) = 2sin(x) + C₂

Для интеграла ∫(cos^2(x) dx) можно использовать формулу понижения степени:

cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2

∫(cos^2(x) dx) = ∫((1 + cos(2x)) / 2 dx)

Теперь проведем замену v = 2x:

∫((1 + cos(2x)) / 2 dx) = (1/2) ∫(1 + cos(v)) dv

∫(1 + cos(v)) dv = v + sin(v) + C₃

Теперь возвращаемся к переменной x:

v = 2x

∫(1 + cos(v)) dv = 2x + sin(2x) + C₃

Таким образом, окончательно интеграл будет иметь вид:

∫[0, π] (1 - cos(x))^2 dx = x - 2sin(x) + 2x + sin(2x) + C

где C = C₁ + C₂ + C₃ - это постоянная интегрирования.

Теперь остается только подставить пределы интегрирования 0 и π:

∫[0, π] (1 - cos(x))^2 dx = [π - 2sin(π) + 2π + sin(2π)] - [0 - 2sin(0) + 20 + sin(20)]

Так как sin(π) = sin(2π) = 0 и sin(0) = 0, а также 2π - 0 = 2π, то:

∫[0, π] (1 - cos(x))^2 dx = π - 0 - 0 + 0 = π

Таким образом, окончательный ответ: ∫[0, π] (1 - cos(x))^2 dx = π.