Question

Найти частное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка: y''-6y'+8y=3x^2+2x+1 при y(0)=0, y'(0)=1

Answer 1

Под конец немного не сошлось, возможно где-то просчитался. Надеюсь хоть чем-то поможет

Answer 2

Для решения данного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка:

$y'' - 6y' + 8y = 3x^2 + 2x + 1$

с начальными условиями $y(0) = 0$ и $y'(0) = 1$, мы можем использовать метод вариации постоянных. Сначала найдём общее решение соответствующего однородного уравнения:

$y'' - 6y' + 8y = 0.$

Характеристическое уравнение этого однородного уравнения будет:

$r^2 - 6r + 8 = 0.$

Решив это квадратное уравнение, мы найдем два корня $r_1 = 4$ и $r_2 = 2$. Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

$y_h(x) = c_1 e^{4x} + c_2 e^{2x},$

где $c_1$ и $c_2$ - произвольные константы.

Теперь мы ищем частное решение неоднородного уравнения в виде:

$y_p(x) = A x^2 + B x + C,$

подставляем это в уравнение и находим производные:

$y_p''(x) = 2A,$ $y_p'(x) = 2Ax + B.$

Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

$2A - 6(2Ax + B) + 8(Ax^2 + Bx + C) = 3x^2 + 2x + 1.$

Упростим:

$2A - 12Ax - 6B + 8Ax^2 + 8Bx + 8C = 3x^2 + 2x + 1.$

Сравнив коэффициенты при одинаковых степенях $x$, получаем систему уравнений:

8A &= 3, \\ -12A + 8B &= 2, \\ 8C - 6B &= 1. \end{align*}\] Из первого уравнения находим \(A = \frac{3}{8}\), из второго \(B = \frac{13}{16}\), из третьего \(C = \frac{5}{32}\). Итак, частное решение неоднородного уравнения: \[y_p(x) = \frac{3}{8} x^2 + \frac{13}{16} x + \frac{5}{32}.\] Теперь общее решение неоднородного уравнения: \[y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1 e^{4x} + c_2 e^{2x} + \frac{3}{8} x^2 + \frac{13}{16} x + \frac{5}{32}.\] Используя начальные условия \(y(0) = 0\) и \(y'(0) = 1\), можно найти значения констант \(c_1\) и \(c_2\).