Question

ЕГЭ профильная математика задание 14 В основании прямой призмы АВСА1В1С1 лежит треугольник АВС со сторонами АВ=ВС, АС=4√2. На ребре ВВ1 выбрана точка К так, что ВК:В1К=2:3. Угол между плоскостями АВС и АКС равен 45 °. а) Докажите, что расстояние между прямыми АВ и А1С1 равно боковому ребру призмы. б) Найдите растояние между прямыми АВ и А1С1, если КС=8

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:а) Прямые АВ и А₁С₁ - скрещивающиеся, а расстоянием между скрещивающимися прямыми называют расстояние от некоторой точки скрещивающихся прямых (например точки А) к плоскости, проходящей через другую прямую плоскость треугольника АВС), параллельную первой прямой (АС), т.е это есть расстояние между АС и А₁₁С₁.. Оно равно боковому ребру АА₁, ч.т.д.       б) 1)  Обозначим угол между плоскостями АВС и АКС  буквой α =45°. Построим угол α: проведём ВЕ⊥АС и КЕ⊥АС, тогда α= 45°.                        2)  Так как ВК : В₁К=2 : 3, то ВК=2х, В₁К=3х.                                                       3) Рассмотрим ΔВЕК прямоугольный, т.к. =45°, то он равнобедренный,⇒ВК= ВЕ= 2х , ⇒ЕК²= (2х)²+(2х)²= 8х².                          4) ΔАВС по условию равнобедренный, ⇒ АЕ=ЕС= АС/2 = 4√2 : 2= 2√2.Из ΔСЕК -прямоугольного ЕК²= КС² -ЕС² = 8² - (2√2)²= 64 - 8 = 56.      5)  Но ЕК²= 8х², ⇒8х² =56, ⇒ х² = 56 :8 = 7, х=√7                                               6)Тогда искомое расстояние между прямыми АВ и А₁С₁:                           ВВ₁ =2х+3х=5х= 5·√7      Отв:  ВВ₁ =5√7

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу по шагам.

а) Докажем, что расстояние между прямыми AB и A1C1 равно боковому ребру призмы.

Обозначим высоту призмы как h, а боковое ребро как a. Также обозначим точку пересечения прямых AB и A1C1 как M.

Мы знаем, что угол между плоскостями ABC и AKS равен 45°. Это означает, что угол между линией AB и её проекцией на плоскость AKS также равен 45°.

Рассмотрим треугольник ABM. Мы знаем, что угол BMA равен 45°, и BM - это проекция бокового ребра a на плоскость ABC. Также, так как треугольник ABC прямоугольный, AM = AC = 4√2.

Из прямоугольного треугольника ABM мы можем использовать тригонометрию: tan(45°) = BM / AM 1 = BM / (4√2) BM = 4√2

Таким образом, боковое ребро призмы равно BM, что также является расстоянием между прямыми AB и A1C1.

б) Теперь мы можем найти расстояние между прямыми AB и A1C1, если KC = 8.

Обозначим расстояние между прямыми AB и A1C1 как d.

Мы можем использовать подобие треугольников AKC и A1KC1: AK / A1K = AC / A1C1 AK / (AK + KC) = 4√2 / d AK / (AK + 8) = 4√2 / d

Теперь мы можем использовать соотношение между ВК и В1К: VK / V1K = 2 / 3 AK / (AK + 8) = 2 / 3 3AK = 2AK + 16 AK = 16

Теперь мы можем подставить значение AK обратно в уравнение и решить его относительно d: 16 / (16 + 8) = 4√2 / d 16 / 24 = 4√2 / d d = 6√2

Таким образом, расстояние между прямыми AB и A1C1 при KC = 8 равно 6√2.