Question

Дано уравнение: (x−a)(x2−8x+12)=0. Найди те значения a, при которых уравнение имеет три разных корня, и они образуют арифметическую прогрессию. Вводи возможные значения a в возрастающей последовательности:

Answer 1

$(x-a)(x^{2}-8x+12)=0$

1) Сначала найдем два корня, решив уравнение:

$x^{2}-8x+12=0$

$D=64-4*1*12=16=4^2$

$x_1=\frac{8-4}{2}=2$

$x_1=2$

$x_2=\frac{8+4}{2}=6$

$x_2=6$

2) Выразим третий корень через а.

$x-a=0$

$x_3=a$

3) Получили три корня: 2;  6;  а

4) Пусть числа  $a;2;6$  образуют арифметическую прогрессию, тогда

выполняется условие:

$6-2=2-a$

$a_1=-2$

5) Пусть числа  $2;a;6$   образуют арифметическую прогрессию, тогда

выполняется условие:

$6-a=a-2$

$-2a=-8$

$a_2=4$

6) Пусть числа  $2;6;a$   образуют арифметическую прогрессию, тогда

выполняется условие:

$a-6=6-2$

$a_3=10$

Ответ: {-2;  4;  10}

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело три различных корня, дискриминант квадратного трехчлена должен быть положительным. У нас есть квадратное уравнение вида: x^2 - 8x + 12 = 0.

Дискриминант D квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac. В данном случае, a = 1, b = -8 и c = 12.

D = (-8)^2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16.

Таким образом, уравнение имеет положительный дискриминант, и, следовательно, у него есть два различных корня.

Чтобы корни образовывали арифметическую прогрессию, сами корни должны образовывать такую прогрессию. Обозначим корни за x1, x2 и x3, где x1 < x2 < x3.

Арифметическая прогрессия имеет следующий вид: x1, x1 + d, x1 + 2d, где d - это разность между соседними членами прогрессии.

Таким образом, у нас должны быть следующие соотношения:

1. x2 - x1 = x3 - x2 (соседние члены имеют одинаковую разность).
2. x1 + x3 = 2 * x2 (средний член равен полусумме соседних).

Теперь решим систему уравнений для x1, x2 и x3.

1. x2 - x1 = x3 - x2
2. x1 + x3 = 2 * x2

Перепишем выражение (x−a)(x^2−8x+12)=0 в виде x^3 - (8+a) * x^2 + (12a) * x - 8a = 0, чтобы сопоставить с системой уравнений.

Теперь подставим x1, x2 и x3 в уравнение x^3 - (8+a) * x^2 + (12a) * x - 8a = 0:

1. x1^3 - (8+a) * x1^2 + (12a) * x1 - 8a = 0
2. x2^3 - (8+a) * x2^2 + (12a) * x2 - 8a = 0
3. x3^3 - (8+a) * x3^2 + (12a) * x3 - 8a = 0

Теперь используем выражения из арифметической прогрессии: x2 = x1 + d x3 = x1 + 2d

Теперь подставим x2 и x3 в уравнения выше и упростим:

1. x1^3 - (8+a) * x1^2 + (12a) * x1 - 8a = 0
2. (x1 + d)^3 - (8+a) * (x1 + d)^2 + (12a) * (x1 + d) - 8a = 0
3. (x1 + 2d)^3 - (8+a) * (x1 + 2d)^2 + (12a) * (x1 + 2d) - 8a = 0

Решим эту систему уравнений для x1, d и a. К сожалению, без конкретных числовых значений для a и d, нельзя определить точные значения для x1, x2 и x3.