Question

Найти производную 3-его порядка y=xarcsinx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y=xarcsinx

y'= x/sqrt(1 - x^2) + arcsinx

y''= (2 + x^2/(1 - x^2))/sqrt(1 - x^2)

y'''= x*(4 - 3*x^2/(-1 + x^2))/(1 - x^2)^(3/2)

Answer 2

Для нахождения третьей производной функции $y = x \arcsin(x)$ по переменной $x$ выполним несколько шагов.

Шаг 1: Найдем первую производную $y'$: $y = x \arcsin(x)$

Применяя правило производной произведения, получим: $y' = \arcsin(x) + x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Шаг 2: Найдем вторую производную $y''$: $y' = \arcsin(x) + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

Снова применяем правило производной произведения для первого слагаемого и правило производной частного для второго слагаемого: $y'' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{x^2}{(1 - x^2)^{3/2}} = \frac{2 - x^2}{(1 - x^2)^{3/2}}$

Шаг 3: Найдем третью производную $y'''$: $y'' = \frac{2 - x^2}{(1 - x^2)^{3/2}}$

Снова используем правило производной частного для первого слагаемого: $y''' = \frac{2(1 - x^2) - (2 - x^2) \cdot (-3x^2)}{(1 - x^2)^{5/2}} = \frac{8x^4 - 6x^2 + 2}{(1 - x^2)^{5/2}}$

Итак, третья производная функции $y = x \arcsin(x)$ равна: $y''' = \frac{8x^4 - 6x^2 + 2}{(1 - x^2)^{5/2}}$