Question

Помогите решить интеграл Интеграл x/(x^3+8) dx

Answer 1

$\displaystyle\int\frac{xdx}{x^3+8}=-\frac{1}{6}\int\frac{dx}{x+2}+\frac{1}{12}\int\frac{2x-2+6}{x^2-2x+4}dx=\\=-\frac{1}{6}\int\frac{d(x+2)}{x+2}+\frac{1}{12}\int\frac{d(x^2-2x+4)}{x^2-2x+4}+\frac{1}{2}\int\frac{d(x-1)}{(x-1)^2+3}=\\=-\frac{1}{6}ln|x+2|+\frac{1}{12}ln|x^2-2x+4|+\frac{1}{2\sqrt3}arctg\frac{x-1}{\sqrt3}+C$

$\displaystyle\frac{x}{x^3+8}=\frac{A}{x+2}+\frac{Bx+C}{x^2-2x+4}=\frac{-\frac{1}{6}}{x+2}+\frac{\frac{1}{6}x+\frac{1}{3}}{x^2-2x+4}\\x=A(x^2-2x+4)+B(x^2+2x)+C(x+2)\\x^2|0=A+B\\x|1=-2A+2B+C\\x^0|0=4A+2C\\C=\frac{1}{3}\\A=-\frac{1}{6}\\B=\frac{1}{6}$

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам решить данный интеграл.

Итак, для решения этого интеграла воспользуемся методом замены переменной. Для начала, заметим, что знаменатель $x^3 + 8$ является суммой куба и константы, что подсказывает нам использовать замену переменной, связанную с кубическим корнем.

Пусть $u = x^3 + 8$, тогда дифференциал переменной $u$ можно выразить следующим образом: $du = 3x^2 \, dx$. Разрешая уравнение относительно $dx$, получаем $dx = \frac{du}{3x^2}$.

Теперь, заменяя переменные в исходном интеграле, получаем:

$\int \frac{x}{x^3 + 8} \, dx = \int \frac{x}{u} \cdot \frac{du}{3x^2} = \frac{1}{3} \int \frac{du}{u}$

Теперь мы можем проинтегрировать полученное выражение по переменной $u$:

$\frac{1}{3} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{3} \ln|u| + C$

где $C$ - постоянная интегрирования.

Осталось вернуться к исходной переменной $x$. Заметим, что $u = x^3 + 8$, поэтому $\ln|u| = \ln|x^3 + 8|$.

Итак, окончательный ответ:

$\int \frac{x}{x^3 + 8} \, dx = \frac{1}{3} \ln|x^3 + 8| + C$

где $C$ - произвольная постоянная.