Question

Является ли прямая у=4х–5 касательной к графику функции у=х^3+х^2-х-2 ? Если является, то найти кординаты точки касания. Пожалуйста помогите ​уже мне завтра сдать надо!

Answer 1

Приравниваем функции друг другу: x^3+x^2-x-2=4x–5.

Получаем кубическое уравнение x^3+x^2-5x+3 = 0.

Вычисление корней данного кубического уравнения производится по формулам Кардано.

Но в данном случае методом подбора определяем корень х = 1.

Производная кубического уравнения y' = 3x² + 2x - 1.

y'(1) = 3*1² + 2*1 - 1 = 3 + 2 - 1 = 4.

y(1) = 1^3+1^2-1-2 = 1 + 1 - 1 - 2 = -1.

у(кас)(1) = 4(х - 1) - 1 = 4х - 5.

Да, прямая у=4х–5 является касательной к графику функции у=х^3+х^2-х-2 в точке х = 1.

Answer 2

Для того чтобы определить, является ли прямая у=4х–5 касательной к графику функции у=х^3+х^2-х-2, мы должны найти точку, в которой они касаются.

Пусть дана функция y = x^3 + x^2 - x - 2.

1. Найдем производную функции y по x: y' = 3x^2 + 2x - 1.

2. Теперь найдем x-координату точки, в которой производные функций y и y=4x-5 совпадают, так как это будет точка касания.

   3x^2 + 2x - 1 = 4.

3. Решим уравнение: 3x^2 + 2x - 1 - 4 = 0, 3x^2 + 2x - 5 = 0.

   Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться квадратным корнем: x = (-2 ± √(2^2 - 4 * 3 * -5)) / (2 * 3), x = (-2 ± √(4 + 60)) / 6, x = (-2 ± √64) / 6, x = (-2 ± 8) / 6.

   Таким образом, получаем два значения x: x₁ = 1 и x₂ = -5/3.

4. Теперь найдем соответствующие y-координаты, подставив найденные x-координаты в функцию y = x^3 + x^2 - x - 2:

   Для x₁ = 1: y₁ = 1^3 + 1^2 - 1 - 2 = 1 + 1 - 1 - 2 = -1.

   Для x₂ = -5/3: y₂ = (-5/3)^3 + (-5/3)^2 - (-5/3) - 2 ≈ -6.56.

Таким образом, мы получаем две точки касания:

1. (1, -1)
2. (-5/3, -6.56)

Прямая у=4х–5 не касается графика функции у=х^3+х^2-х-2, так как она пересекает график функции в этих двух точках, но не касается его в какой-либо одной точке.