Question

2. Найти промежутки возрастания и убывания функции : а) y=x/2+2/x б) y=3x³-9x²+12x-9

Answer 1

Ответ:

a) Найдем производную

y'=1/2-2/x^2

1/2-2/x^2=0

x^2-4=0     x^2=4

x=±2

При х∈(-∞;-2)∨(2;+∞) функция возрастает

При х∈(-2;2) функция убывает

б)

у'=9x^2-18x+12

9x^2-18x+12=0

D>0

Т.к. коэффициент х^2 положительный, уравнение всегда будет положительным⇒Функция возрастает на х∈R

Answer 2

Давайте проанализируем оба заданных уравнения и найдем промежутки возрастания и убывания для каждой из функций.

а) Функция y = x/2 + 2/x

Для начала, найдем производную функции по x и определим её поведение:

y = x/2 + 2/x

y' = 1/2 - 2/x²

Теперь нам нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. Приравнивая производную к нулю:

1/2 - 2/x² = 0

2/x² = 1/2

x² = 4

x = ±2

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = -2 и x = 2.

Теперь проверим знак производной в интервалах между критическими точками и за пределами них:

1. Если x < -2, то x² > 4, и 2/x² < 1/2. Следовательно, производная положительна, и функция возрастает на этом интервале.
2. Если -2 < x < 2, то 1/2 < 2/x² < 1. Производная отрицательна, и функция убывает на этом интервале.
3. Если x > 2, то x² > 4, и 2/x² < 1/2. Следовательно, производная снова положительна, и функция возрастает на этом интервале.

Итак, промежутки возрастания функции y = x/2 + 2/x: ( -∞, -2 ) и ( 2, +∞ ), а промежутки убывания: ( -2, 2 ).

б) Функция y = 3x³ - 9x² + 12x - 9

Давайте найдем производную этой функции и определим её поведение:

y = 3x³ - 9x² + 12x - 9

y' = 9x² - 18x + 12

Теперь найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

9x² - 18x + 12 = 0

x² - 2x + 4/3 = 0

Дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, следовательно, уравнение не имеет действительных корней, и у функции нет критических точек.

Так как у функции нет критических точек, нам нужно проанализировать её поведение на всем диапазоне действительных чисел. Так как второй член является квадратичным и имеет положительный коэффициент при x², то функция будет стремиться вверх, и у неё не будет промежутков убывания. Таким образом, функция y = 3x³ - 9x² + 12x - 9 будет возрастать на всем интервале действительных чисел ( -∞, +∞ ).