Question

Интеграл x^3+1/x^2-3x+2

Answer 1

Вот,думаю, что правильно решила

Answer 2

Чтобы решить интеграл ∫(x^3 + 1) / (x^2 - 3x + 2) dx, давайте сначала разложим знаменатель на множители и попробуем представить дробь в виде суммы простых дробей:

x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1).

Теперь можем разложить дробь на простые:

(x^3 + 1) / (x^2 - 3x + 2) = (x^3 + 1) / ((x - 2)(x - 1)) = A/(x - 2) + B/(x - 1),

где A и B — это коэффициенты, которые мы должны найти.

Умножим обе стороны на знаменатель и найдем A и B:

x^3 + 1 = A(x - 1) + B(x - 2).

Подставим x = 1:

1^3 + 1 = A(1 - 1) + B(1 - 2), 2 = -B.

Подставим x = 2:

2^3 + 1 = A(2 - 1) + B(2 - 2), 9 = A.

Итак, разложение будет:

(x^3 + 1) / (x^2 - 3x + 2) = 9/(x - 2) - 2/(x - 1).

Теперь мы можем проинтегрировать каждую из простых дробей:

∫(9/(x - 2) - 2/(x - 1)) dx = 9∫(1/(x - 2)) dx - 2∫(1/(x - 1)) dx = 9ln|x - 2| - 2ln|x - 1| + C,

где ln обозначает натуральный логарифм, и C — постоянная интегрирования.

Итак, окончательный ответ:

∫(x^3 + 1) / (x^2 - 3x + 2) dx = 9ln|x - 2| - 2ln|x - 1| + C.