Question

Интеграл (a^x+b^x)^2 dx

Answer 1

$\int ({a}^{x} + {b}^{x})^{2} dx = \int {a}^{2x} + 2 {a}^{x} {b}^{x} + {b}^{2x} dx = \\ = \int {a}^{2x} dx + 2\int {a}^{x} {b}^{x} dx + \int {b}^{2x} dx$

Первая часть интеграла:

$\int {a}^{2x} dx = \int \frac{t}{2t ln(a) }dt = \frac{t}{2 ln(a) } = \frac{ {a}^{2x} }{2 ln(a) } \\ {a}^{2x} = t, \: dx = \frac{1}{2 {a}^{2x} ln(a) } dt$

Вторая часть интеграла:

$\int {a}^{x} {b}^{x} dx = \int(ab) {}^{x} dx = \frac{(ab) {}^{x} }{ ln(ab) }$

Третья часть интеграла:

$\int {b}^{2x} dx = \int \frac{t}{2t ln(b) }dt = \frac{t}{2 ln(b) } = \frac{ {b}^{2x} }{2 ln(b) } \\ {b}^{2x} = t, \: dx = \frac{1}{2 {b}^{2x} ln(b) } dt$

Собираем:

$\int( {a}^{x} + {b}^{x} ) {}^{2} dx = \frac{ {a}^{2x} }{2 ln(a) } + \frac{(ab) {}^{x} }{ ln(ab) } + \frac{ {b}^{2x} }{ 2ln(b) }$

Answer 2

Для решения данного интеграла, где a и b - константы, можно воспользоваться методом замены переменных.

Для начала, проведем замену переменной u = a^x + b^x. Тогда дифференциал dx можно выразить через дифференциал du:

du = (a^x * ln(a) + b^x * ln(b)) dx.

Для нахождения dx, можно разделить обе части равенства на (a^x * ln(a) + b^x * ln(b)):

dx = du / (a^x * ln(a) + b^x * ln(b)).

Теперь мы можем переписать исходный интеграл с использованием новых переменных:

∫ (a^x + b^x)^2 dx = ∫ u^2 * (du / (a^x * ln(a) + b^x * ln(b))).

Заметим, что в знаменателе у нас есть произведение двух экспонент с одной и той же базой a и b, которые зависят от переменной x. Мы можем сгруппировать их следующим образом:

a^x * ln(a) + b^x * ln(b) = ln(a) * a^x + ln(b) * b^x.

Теперь мы можем провести замену переменной t = ln(a) * a^x + ln(b) * b^x. Тогда дифференциал du можно выразить через дифференциал dt:

dt = (ln(a) * a^x * ln(a) + ln(b) * b^x * ln(b)) dx.

Для нахождения dx, можно разделить обе части равенства на (ln(a) * a^x + ln(b) * b^x):

dx = dt / (ln(a) * a^x + ln(b) * b^x).

Теперь мы можем переписать интеграл в терминах новых переменных:

∫ (a^x + b^x)^2 dx = ∫ (u^2 / t) dt.

Заметим, что интеграл ∫ (u^2 / t) dt может быть вычислен как степенная функция u с отрицательным показателем:

∫ (u^2 / t) dt = -(u^2 / ln(t)) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Наконец, возвращаемся к исходным переменным:

∫ (a^x + b^x)^2 dx = -(a^x + b^x)^2 / ln(ln(a) * a^x + ln(b) * b^x) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, мы получили выражение для интеграла (a^x + b^x)^2 dx.