Question

Y’=(x+2y)/(2x-y) найти общее решение дифференциального уравнения

Answer 1

$y=xz=>y'=z+xz'\\ z+xz'=\dfrac{1+2z}{2-z}\\ xz'=\dfrac{1+2z-2z+z^2}{2-z}\\ xz'=\dfrac{1+z^2}{2-z}\\ \int \dfrac{2-z}{1+z^2}dz=\int\dfrac{dx}{x}\\ (*)\int \dfrac{2-z}{1+z^2}dz=2\int \dfrac{1}{1+z^2}dz-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{2z}{1+z^2}dz= 2arctgz-\dfrac{1}{2}ln(z^2+1)+C\\ 2arctgz-\dfrac{1}{2}ln(z^2+1)+C=lnx\\ 2arctg\dfrac{y}{x}-\dfrac{1}{2}ln(\dfrac{y^2}{x^2}+1)+C=lnx$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является уравнением в разделённых переменных. Его можно решить следующим образом:

1. Начнем с выражения уравнения в виде: $\frac{dy}{dx} = \frac{x + 2y}{2x - y}$

2. Перенесём переменные с y на одну сторону, а переменные с x на другую сторону: $2x - y \, dy = (x + 2y) \, dx$

3. Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения: $\int (2x - y) \, dy = \int (x + 2y) \, dx$

   $x^2 - \frac{1}{2} y^2 = \frac{1}{2} x^2 + 2xy + C$

   Где C - постоянная интегрирования.

4. Выразим y в зависимости от x: $\frac{1}{2} y^2 = \frac{1}{2} x^2 + 2xy + C - x^2$

   $y^2 = x^2 + 4xy + 2C - 2x^2$

   $y^2 = -x^2 + 4xy + 2C$

   $y = \pm \sqrt{-x^2 + 4xy + 2C}$

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения $Y' = \frac{x + 2y}{2x - y}$ имеет вид: $y = \pm \sqrt{-x^2 + 4xy + 2C}$ где C - произвольная постоянная.