Question

Вычислите Sin^3a+cos^3a, если Sina+cosa=1/3 Даю 25 баллов

Answer 1

Ответ:

$sin^3a+cos^3a=\frac{13}{27}$

Пошаговое объяснение:

$sin^3a+cos^3a=???\\sina+cosa=\frac{1}{3} \\sin^3a+cos^3a=(sina+cosa)(sin^2a-sinacosa+cos^2a)=\frac{1}{3} (1-sinacosa)\\(sina+cosa)^2=sin^2a+2sinacosa+cos^2a\\(sina+cosa)^2=1+2sinacosa\\sinacosa=\frac{(sina+cosa)^2-1}{2} \\sinacosa=\frac{\frac{1}{9}-1 }{2} \\sinacosa=\frac{-8}{9*2}=-\frac{4}{9} \\sin^3a+cos^3a=\frac{1}{3}(1-(-\frac{4}{9} )) =\frac{1}{3}*\frac{13}{9} =\frac{13}{27}$

Answer 2

Дано:

$\sin a + \cos a = \frac{1}{3}$

Мы хотим найти значение выражения:

$\sin^3 a + \cos^3 a$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой суммы кубов:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Применим эту формулу к нашему выражению:

$\sin^3 a + \cos^3 a = (\sin a + \cos a)(\sin^2 a - \sin a \cos a + \cos^2 a)$

Зная, что $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$ (так как это тождество Пифагора), мы можем переписать выражение:

$\sin^3 a + \cos^3 a = \frac{1}{3} \cdot (1 - \sin a \cos a)$

Теперь нам нужно найти значение $\sin a \cos a$. Мы можем воспользоваться тождеством:

$(\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a = 1$

Подставляем значение $\sin a + \cos a = \frac{1}{3}$:

$\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a$

$\frac{1}{9} = 1 - \sin a \cos a$

$\sin a \cos a = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

Теперь подставляем это значение в выражение для $\sin^3 a + \cos^3 a$:

$\sin^3 a + \cos^3 a = \frac{1}{3} \cdot \left(1 - \frac{8}{9}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{27}$

Итак, $\sin^3 a + \cos^3 a = \frac{1}{27}$.